Hj. Tallqvist. 



dy ■ 



dY 



âx 



nicht erfüllen, während es in allen anderen im Endlichen liegenden Punkten der Ebene der 

 Fall ist. Dann gilt die obige Betrachtung unverändert für alle solche Gebiete der Ebene, 

 welche den Punkt nicht einschliessen. Die Arbeit längs eines Weges von A nach B ändert 

 sich nicht, wenn der Weg irgendwie transformirt wird, vorausgesetzt dass 

 man den Punkt dabei nicht überschreitet. Längs eines beliebigen, 

 geschlossenen Weges, der den Punkt nicht einschliesst, ist die Arbeit 

 gleich Null. Es fragt sich nun, ob und wie die Arbeit sich ändert, wenn 

 der Integrationsweg den Punkt überschreitet; ferner welchen Wert die 

 Arbeit längs eines geschlossenen, den Punkt umschhessenden Weges 

 bekommt. Es ist selbstverständlich, dass der Integrationsweg durch den Punkt selbst nicht 

 geführt werden darf. 



Man construirt ein einfach zusammenhängendes Gebiet G , wie die Fig. 4 es zeigt. Für 

 dieses Gebiet gilt die Gleichung 



Fig. 3. 



(12) 



J<-^- 



dx + Ydy)= U- 



m 



CO 



dY dX\^ _, 



\dxay , 



dx dy ) 



wo das Integral links rings herum ausgestreckt werden muss. 

 Weil ferner die Bedingung 



dy 



dY 

 dx 



überall innerhalb O erfüllt ist, so folgt aus (12) 



(13) 



({Xdx-irYdy)=^0. 



Diejenigen Teile dieses Integrals, welche von den (zusammenfallenden) Rändern AB und CD 

 herrühren, heben sich gegenseitig auf, weil X und Y auf beiden Rändern gleich, dx und dy 

 entgegengesetzt sind. Man findet also mit leicht verständlichen Bezeichnungen 



J(l)+J(2) = 



Ja)=J(2). 



& 



oder 



(14) 



G^ G^ 



Das in einer bestimmten Richtung längs eines geschlossenen Weges um genommene In- 

 tegral ändert sich also nicht, wenn der Weg sich mehr und mehr um zusammenzieht. 

 Aus den über X und Y getroffenen Voraussetzungen geht hervor, dass dieses Integral einen 

 endlichen Wert hat. Wäre es gleich Null, wie in einigen Beispielen weiter unten, so würden 

 alle Resultate in den Art. 1 und 2 mit der einzigen Ausnahme gelten, dass der Integrationsweg 

 nicht durch den Punkt selbst geführt werden darf. 



T. XXXIU. 



