Ueher Årheitsgrössen in der mathematischen Physilc 



4. Um das rings um genommene Integral der Arbeit 

 näher zu untersuchen, wählen wir als Anfangspunkt in einem 

 System von Polarcoordinaten. Dabei ergiebt sich 



(15) 

 (16) 

 (17) 



(18) 



x = r cos <f , 

 y = r sintp . 



r = }/x^ + //2 ; tg<p=^. 



i dx = cos if dr — r sin <y d(p , 

 ( dy = sin tp dr -\- r cos (f d(p . 



Fig. 5. 



rdr = xdx -\-ydy , 

 r^d<p = xdy — ydx . 



Das Linienintegral verwandelt sich in 



(19) 



I {Xdx + Ydy) = I {{X cos y + I'sin ip) dr + (— X sin y + Y cos y) r rfy| , 



wo a:; und y m X und F durch ihre Werte in r und if auszudrücken sind. Es sei R die 

 Componente von P in der Richtung von r , (ß die Componente von P senkrecht dazu, in der 

 Richtung der wachsenden y ; dann bestehen die Beziehungen 



(20) 



(21) 



{R = X cos (p -f Fsin (f , 

 \cß = — X sin cp + Fcos cp . 

 IX = R cos (f — (fi sin (p , 

 \Y = R sin (p + (ß cos ip , 



und die Gleichung (19) verwandelt sich in 



(22) \{Xdx + Ydy) = Uiî dr + .^Çriy) , 



wie man auch unmittelbar mit Hülfe des Satzes hätte aufschreiben können, dass die Arbeit 

 von P gleich der Summe der Arbeiten seiner Componenten ist. 



R und ß und ihre Ableitungen haben dieselben Stetigkeitseigenschaften wie X und F. 



Damit Rdr-\-ßrd(p ein vollständiges Differential sei, muss 



dR d (rß) 



d. h. 

 (23) 



Ö(p 



dr 



dß _dR 

 5^ ^*" dr^dq)^ 



wie man natürlich auch durch! Coordinatentransfbrmation in der Gl. (3) gefunden hätte. Es 

 wird angenommen, dass die Bedingung (23) überall ausser in dem Punkte erfüllt ist. 



N:o 5. 



