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Quadranten gleich grosse Werte von entgegengesetzten Vorzeichen bekommen. Das Integral 

 I hat folglich den Wert Null. 



Als Integrationsweg kann man z. B. eine EUipse in demjenigen Systeme von elliptischen 

 Coordinaten v^ählen, das durch die geradlinige Strecke bestimmt ist, d. h. deren Brennpunkte 

 die Endpunkte der Strecke sind. Bezeichnet 21 die Länge der Strecke, so ergiebt sich dabei 

 l = y a — ß und man erhält für das Integral längs einer in positiver Richtung durchlaufenen 

 Viertelellipse innerhalb des ersten oder dritten Quadranten 



Man kann die Ellipse sich mehr und mehr zusammenziehen lassen, so dass sie zuletzt mit 

 der doppelt zu denkenden geradlinigen Strecke zusammenfällt, oder sich mehr und mehr er- 

 weitern lassen, so dass sie sich ohne Grenze dem unendlich fernen Kreise der Ebene nähert. 

 Oft ist ein sich unbeschränkt erweiternder Kreis ein bequemer Integrationsweg. 



Die singulare Strecke sei speciell eine mit Masse gleichförmig belegte Gerade, welche 

 einen Massenpunkt nach dem Newton'schen Gesetze anzieht. Bekanntlich zieht die Gerade 

 einen; Punkt C mit derselben Kraft an wie ein gleichförmig mit derselben Dichte belegter 

 Kreisbogen, der den Punkt C zum Mittelpunkte hat, die Gerade berührt und von den beiden 

 Strahlen aus G nach den Endpunkten der Geraden begrenzt wird. Die Kraft P halbirt also 

 den Winkel zwischen diesen beiden Strahlen. Sämmtliche Kraftrichtungen stellen die Nor- 

 malen eines Systems confocaler Ellipsen dar. Die Ellipsen selbst sind Niveaulinien für die 

 Arbeit oder für die potentielle Energie des Massenpunktes. Die Kraftcomponente L^ in dem 

 Systeme elliptischer Coordinaten ist gleich Null und P fällt mit L^ zusammen. Das Integral 

 I ist also auch Null. 



Giebt es überhaupt Niveaulinien, welche die singulare Strecke, sie sei gerad- oder krumm- 

 linig, ganz umschliessen, so ist die Arbeit / bei einem ganzen Umlaufe längs einer solchen 

 Linie gleich Null. Diese Arbeit wird auch dann stets gleich Null sein, wenn man die Strecke 

 durch unendlich kleine Elemente ersetzen kann, die die Eigenschaft besitzen längs eines 

 geschlossenen, das Element einschliessenden Weges die Arbeit Null zu hefern, wie z. B. bei 

 der Massengravitation, in der Elektro- und in der Magnetostatik. 



12. Man betrachte fortwährend eine geradlinige singulare Strecke, nehme aber an, dass 

 die Verteilung der Kraft P eines solche sei, dass sie durch Umkehrung der Kraftrichtung in 

 zwei nicht an einander stossenden Quadranten, z. B. der zweiten und vierten, zu einer völlig 

 symmetrischen wird. Wenn das über einen Viertel eines geschlossenen, symmetrischen 

 Weges erstreckte Arbeitsintegral nicht gleich Null ist, so ist das ganze Integral I auch 



ungleich Null und hat einen vier Mal so grossen Wert. Als 

 j Beispiel betrachten wir eine singulare geradlinige Strecke, 



welche der senkrechte Durchschnitt der Ebene mit einer Strom- 

 lamelle ist, die einen gleichförmig verteilten Strom von der 



f«- g--*Y^ I totalen Stärke i trägt. Mit den Bezeichnungen in der Figur 



"-'JzZ'.'x- > 11 sind dann die Componenten der auf einen Magnetpol /* wir- 



Fig. 11. kenden Kraft P: 



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