Uéber Arbeitsgrössen in der tnathematischen Physik. 17 



ist also nicht erfüllt. Das längs einer geschlossenen inneren Curve in positiver Richtung 

 genommene Integral \{Xdx-\-Ydy) ist gleich^- mal der eingeschlossenen Fläche, z. B. für 



i^stfii 



einen Kreis vom Radius r gleich „^ r^ . Dies gilt also für r < Ä . Im äusseren Felde, d. h. 

 für r^ R, ist stets 



1= \ {Xdx -\-Ydy) — isTfii. 



& 



y 



Mechanische Arbeit im Räume. 



15. Man wähle ein derartiges rechtwinkliges Coordinatensystera, dass der Uebergang 

 der 2/-Axe in die ^- Axe durch eine Drehung um 90 ° , von einem Punkte auf der positiven 

 ic-Axe betrachtet, von rechts nach links erfolgt (Fig. 14), was man 

 irgend Mal auch ein indirectes Coordinatensystem nennt. Auf einen 

 Punkt C mit den Coordinaten x , y , z wirke eine Kraft P mit den 

 Componenten X, Y, Z parallel den Coordinatenaxen. Es wird 

 angenommen, dass X, F, Z Functionen von x, y, z sind, aber 

 keine Ableitungen der Coordinaten in Bezug auf die Zeit enthalten, 

 ferner zunächst, dass X, Y, Z sowie ihre ersten Ableitungen 



"TT , -j — ' "^ ^™ ganzen endlichen Räume stetig seien. 



Bei der Bewegung des Angriffspunktes von P um das Stück 

 ds in einer Richtung, welche mit P den Winkel « bildet, ergiebt sich eine elementare Arbeit 



'2 



Fig. U. 



(59) 



dW=Pc,Q'äads = Xdx ^Ydy^Zdz 



und bei der Bewegung um einen endlichen Weg von A nach B eine totale Arbeit 



(60) 



{Xdx^Ydy^Zdz) 



U) 



Im allgemeinen hängt der Wert von W sowohl von den Coordinaten a;o , 2/o , ^o des Punktes 

 A und .T, ?/, z des Punktes B wie von dem Wege AB selbst ab. Eine Ausnahme bildet 

 der in der mathematischen Physik wichtigste Fall, in welchem Xdx^Ydy -\- Zdz ein voll- 

 ständiges Differential ist, d. h. wenn die Bedingungen 



(61) 



N:o .5. 



àY^dZ^ 



dz dy ' 



dZ^dX 



dx dz ' 



dX^dY_ 

 dy "~ dx 



