18 Hj. Tallqvist. 



erfüllt sind. Man hat dann, wenn mit a, b , c beliebige Constanten bezeichnet werden, 



(62) dF=Xdx + Ydy + Zdz, 



(63) F=f X{x,y,z) dx + j' Yia , tj , z) dy +j Zia ,b , 2)dz + C , 



(64) W=F{x,y,z)-F{x,,y„,z,). 



Die Function F, die sog. Kräftefunction, enthält eine unbestimmte additive Constante, von 

 der aber die Arbeit W unabhängig ist. Würde man verlangen, dass F im Punkte Ä gleich 

 Null sei, so erhielte man 



X{x,y,z)dx+\ Y{xo,y ,z)dy +\ Z{xo ,ya, z)dz , 



W=Fix,y,z). 



Unter den getroffenen Voraussetzungen über X, Y, Z ist die Function F im ganzen Räume 

 eindeutig und stetig. 



16. Man fragt jetzt, welcher ist der allgemeinste Fall, in welchem unter Aufrechter- 



hal tung der über X, Y und Z getroffenen Voraussetzungen die Arbeit (Xdx + Tdy + Zdz) 



nur von der Lage der Endpunkte, nicht aber von dem Integrationswege selbst abhängig ist. 

 Dabei bemerkt man zuerst wie im Art. 2, dass in diesem Falle die Arbeit längs jeder 

 geschlossenen Raumcurve gleich Null sein _muss. Durch eine solche geschlossene Curve werde 

 eine beliebige Fläche so gelegt, dass ein einfach zusammenhängendes Flächenstück von der 

 Curve vollständig begrenzt wird. Man definire ferner die Richtung der Normalen der Fläche 

 so, dass eine bestimmte auf der Curve gewählte Umlaufsrichtung von einem Punkte dieser 

 Normalen gesehen von rechts nach links verläuft. Es seien Ï , m , w die Richtungscosinusse 

 dieser Richtung der Normalen. Dann hat man nach dem Stokes'schen Satze, welcher die 

 Verwandlung eines Flächenintegrals in ein Linienintegral längs des Randes der Fläche oder 

 umgekehrt lehrt, 



wo das Flächenintegral über das ganze Flächenstück F erstreckt werden muss. Soll nun das 

 Randintegral links immer den Wert Null bekommen, wie man auch die geschlossene Curve 

 wählt und wie man die Fläche F durch sie führen mag, so müssen offenbar überall im Räume 

 die Gleichungen 



dy dz ' 



^-^ = 

 dz dx ' 



dx dy 



T. XXXIII. 



