Uehcr Arbeitsgrössen in der mathematischen Physik. 

 Die Bedingungen für ein vollständiges Differential sind folglich: 



21 



(78) 



dl. 



Vr. 



(Aj ylj) (/2 ^i) 



(« + ^)(/i + ^)(r + >l2) 



dhV {"^ 



(/3 — /j) (/,3 — /3) j 



dkSy {a 



(/3 — /,) (/3 Å2) 7- 



+ >l3)(^+'i3)(y + >l3) ' 



■d/3 





(r (« + -1 



Aj) {/•i *■,) 



oder in etwas veränderter Form: 



L, 







-h){^i-^ù 



){ß + ^uiY + ^i) 



A , 



+ ^2) iß + ^2) (Y + ^2) 



(79) 



/(/,-^2) (« + A3) (iï+A3)(^ + 23) ^fe^-i^)^ y_(^^_A3) (« + A2) (|ï + ^2) (r + ^ü) 





V{l,-l,)ia + X,)iß + ^,){Y + k,) '^^^'^^l'^ ^^^ = ?/(A.-A2)(^ + ^)(<^ + ^a)(y + ^3) ^^^'^^^; ^, 



/-(^,-/3)(« + ^2)(/^+^2)(r+A..) ^^^'^^^ ^ = /(A2-A3)(« + A0((3 + A,)(y + A0 '^^^^^^^;~ ^^ 



19. Es werde jetzt angenommen, dass X, Y, Z und ihre ersten Ableitungen im allge- 

 meinen stetig sind und die Bedingungen 



dz dy ' 



dZ^_dX 

 dx dz ' 



dX_dY^ 

 dy dx 



erfüllen, in einzelnen Raumpunkten, Linien, Flächen oder Raumteilen jedoch eine Ausnahme 

 machen, so dass diese Gebilde als singulär zu betrachten sind. 



Man zeigt zunächst, dass das längs zwei bestimmter geschlossener Wege genommene 



Integral {Xdx + Ydy + Zdz) denselben Wert bekommt, wenn die Wege in einander trans- 

 es 

 formirt werden können, ohne dass dabei singulare Gebilde geschnitten werden. 

 Natürlich müssen auch die Richtungen der beiden Wege dabei mit einander 

 übereinstimmen. In der Tat kann man jetzt die beiden Wege als Ränder v 

 eines zweifach zusammenhängenden Flächenstückes wählen (Fig. 15); man 

 führt einen Schnitt von dem einen Rande nach dem andern und erhält so ein ii';,',' 

 einfach zusammenhängendes Flächenstück, auf das die Gleichung (65) ange- 

 wandt werden kann. Das Flächenintegral ist identisch Null; die Teile des v , 

 Linienintegrals längs der beiden Ränder des Schnittes heben sich auf Die nr 



Summe der Linienintegrale längs der beiden Wege (1) und (2) ist also Null, Fig. 15. 



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