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wobei sie aber in entgegengesetzter Richtung durchlaufen werden. Kehrt man die eine Rich- 

 tung um, so ersieht man, dass beide denselben Integralwert liefern müssen. 



Kann ein geschlossener Weg in einen Punkt zusammengezogen werden, ohne dabei irgend 

 welche singulare Gebilde zu berühren, so ist das zugehörende Arbeitsintegral offenbar Null. 

 Jedoch ist es nicht ausgeschlossen, dass dieses Integral den Wert Null haben kann, auch 

 ohne dass ein derartiges Zusammenziehen möglich ist. 



Kennt man den Wert des Arbeitsintegrals längs Scämmthcher geschlossener Wege, welche 

 nicht in einander transformirt werden können, so kann die Arbeit längs jedes Weges berechnet 

 werden, der keine singulären Gebilde schneidet, was analog dem in der Ebene gefundenen 

 geschieht und hier nicht weiter ausgeführt werde. 



20. Wenn die singulären Gebilde aus einzelnen Punkten, begrenzten geradlinigen oder 

 krummhnigen Strecken, begrenzten einfach zusammenhängenden Flächenstücken oder von je 

 einer geschlossenen Fläche begrenzten einfach zusammenhängenden Raumteilen bestehen, so 

 können alle geschlossenen Wege, welche die singulären Gebilde nicht schneiden, in je einen 

 Punkt zusammengezogen werden; die Arbeit längs eines Weges von A nach B wird offenbar 

 nicht durch Abänderung des Weges geändert, vorausgesetzt dass der Weg ausserhallj der 

 singulären Gebilde verbleibt. Solche Fälle werden wir deshalb hier nicht weiter betrachten; 

 sie kommen überall bei der allgemeinen Massenanziehung, in der Elektro- und Magnetostatik 

 vor. Hier sei an das bekannte Resultat erinnert, dass das Potential einer magnetischen 

 Doppelbelegung von constantem Moment in Bezug auf einen Punkt gleich ist dem Producta 

 aus dem Momente in den Raumwinkel, unter welchem man die Doppelfläche aus dem Punkte 

 ersieht und zwar positiv oder negativ gerechnet, je nachdem die Doppelfläche ihre positive 

 oder negative Seite dem Punkte zukehrt. Die Kräftefunction ist hier — /* Mal das Potential. 



Singulare Gebilde, welche nicht in einen Punkt zusammenziehbare geschlossene Wege 

 ermöghchen, sind z. B. Linien, Flächenstreifen oder Körper, welche sich nach zwei Seiten ins 

 Unendliche erstrecken oder welche geschlossene Ringe bilden. Es mögen jetzt verschiedene 

 Beispiele hierzu betrachtet werden. 



21. Es gebe eine nach beiden Seiten unbegrenzte singulare Gerade, mit der die x-Axe 

 zusammenfallend gewählt werde. Man bildet dann das Arbeitsintegral längs einer geschlossenen, 

 in der yz-Ehene liegenden Linie, z. B. längs eines Kreises mit dem Mittelpunkte auf der x-Axe. 

 Für einen Umlauf ni positiver Richtung ergiebt sich dabei nach Art. 17 und 6 



(80) I=2^a, 



wo « = lim r(fi 



('■ = 0) 



ist. 



Ist die singulare Gerade eine in irgend einer Weise mit Masse belegte, auf einen Massen- 

 punkt wirkende Linie, so liegt die Kraft P in der durch den Punkt an die Gerade geführten 

 Ebene. Von den Kräftecomponenten X, B, cß ist dabei stets (ß = 0, und man erhält 1=0. 



Man erkennt übrigens hier wie in der Ebene ohne weiteres, dass für jede auf Central- 

 kräfte zurückführbare Wirkung das längs eines geschlossenen Weges, der nicht das Agens 

 selbst trifft, genommene Integral / gleich Null sein muss. 



Ï. xxxm. 



