Das Problem. 



Die zu lösende Aufgabe ist die folgende : 



Es sei eine über die z-Ebene ausgebreitete^ in (w + 1) beliebigen Punkten a^, a.^, 

 ...,«„_,_ 1 beliebig verziveigte endlich- oder unendlich-blättrige Riemannsche Fläche F 

 gegeben. Es soll untersucht iverden, ob eine derartige Funktion rj (s) existirt, dass 

 falls y:=y[2) eine auf F unverzireigte Funktion symbolisirt, soivohl y als z sich 

 als eindeutige Funktionen von ij darstellen lassen. 



Vorbereitende Sätze. 



1. Es giebt nun gewisse Umkreisungen in der ^'-Ebene, die ein vorgelegtes 

 Blatt von F in sich überführen. Vor allem ist dabei der identische Umlauf 1 zu be- 

 merken, der auf der Riemannschen ^--Kugel, ohne irgend eine Stelle a^ (-/. = 1, 2, . . . , 

 n -\- l) zu überstreichen, zu einem Punkte zusammengezogen werden kann. Aber noch 

 andere derartige geschlossene Umläufe kommen vor. Die Zusammenfassung aller dieser 

 sich auf ein Blatt von F beziehenden Umläufe hat Gruppeneigenschaft, und wir erfas- 

 sen sie deshalb als eine Gruppe G'. Innerhalb dieser Gruppe sind dann alle diejenigen 

 Umläufe als identisch mit einander anzusehen, die auf der ^-Kugel, ohne irgend einen 

 Punkt «H zu überstreichen, in einander überführbar sind. 



Diu'cli diese Auffassung wird jedem Blatte von F eine solche Umki-eisungs- 

 gruppe zugeordnet. Entsprechend den verschiedenen Blättern entspringt so eine end- 

 liche oder unendliche Anzahl von Gruppen G', G", . . . 



2. Es wird sogleich vorteilhaft, diese Gruppen in Verbindung mit der Gruppe 

 aller möglichen Umläufe um die Punkte a>, zu setzen, für welche Gruppe wir die Be- 

 zeichnung (?" + ' einführen. Die Gruppen G', G" , . . . sind nämlich selbstverständlich 

 Untergruppen zu G"^'^. 



Aber noch mehr lässt sich hinsichtlich dieser Gruppen bemerken. Gesetzt G"' 

 und G'"-^ sind zwei beliebige dieser Gruppen. Auf F giebt es ja kontinuiiiiche Über- 



