4 Severin Johansson. 



gänge zwischen den jene Gruppen tragenden Blättern. Indem wir über einander lie- 

 gende Punkte in Betracht ziehen, erweist sich ein derartiger Übergang als ein Umlauf 

 Si^i^i) von G"'^\ Es ergiebt sich dann ohne weiteres, dass 



1) ö"» = (S(''. "2)) -'ö"' («('*.''=)) + \ 



Der Umlauf Sl''!''-^) oder vollständiger (5(''i "=)) + ' setzt dabei in der Richtung von dem 

 Blatte fort, das G'-'' trägt, und zwar nach dem anderen hin; (-SC"! "2))-' ist derselbe 

 Umlauf, in entgegengesetzter Richtung durchlaufen '). Die Gleichung 1 besagt, dass G''-' 

 und G"- gleichberechtigte Untergruppen von (?" + ^ sind. Dies gilt von allen Gruppen 

 G', G", . . . und es ergiebt sich somit der allgemeine Satz : 



Jede in 0.1, a_>, . . ., «„ + 1 beliebig verzweigte Riemannsche Fläche F definirt ein 

 System gleichberechtigter Untergruppen von G"'^^. 



3. Dieses System ist vollständig, indem nämlich keine ausserhalb des Systems 

 liegende Gruppe mit den dem System angehörigen innerhalb (?" + ' gleichberechtigt ist. 



Innerhalb des Systems aber können mehrei'e Gruppen identisch sein. Vor allem 

 beachten wir dabei den Fall, dass F eine regulär verzweigte Fläche ist. Dann ist je- 

 des Blatt genau so wie jedes andere verzweigt, und es ist ersichtlich, dass alle Grup- 

 pen G', G", . . . identisch sind, d. h. 



Eine regulär verzweigte Fläche definirt in oben festgelegtem Sinn eine aus- 

 gezeichnete Untergruppe von G"'^^. 



4. Auf der Riemannschen Fläche giebt es noch Umläufe, die alle Blätter in 

 sich überführen. Auch ihre Zusammenfassung besitzt Gruppeneigenschaft und bildet 

 eine Gruppe, die wir G nennen. Die Giuppe G fällt ersichthch mit der Mannigfaltig- 

 keit aller für G', G", . . . gemeinsamen Substitutionen zusammen und ist also als Unter- 

 gruppe in (?', G", . . . enthalten. 



Die Gruppe G hat die Eigenschaft, dass ihre Umläufe, in welchem Blatte von 

 F sie auch anfangen, sich immer schliessen. Aus dieser Eigenschaft erhellt, dass 



wo 5 beliebig innerhalb G"'^^ zu wählen ist. Diese Gleichung aber ergiebt den fol- 

 . genden Satz : 



Die Gruppe G ist eine ausgezeichnete Untergruppe von G"^^. 



5. Ist nun y ^ y (s) eine auf F eindeutige analytische Funktion, so gehen alle 

 ihre Zweige in sich über, falls z die Umläufe von G beschreibt, während G', G", . . . 

 dieselben Dienste für die verschiedenen Zweige von y (z) leisten. Ist aber y (z) keine 



') Die rechte Seite der Gleichung wird ersichtlich von links nach rechts abgelesen. Vgl. KxBlN, 

 Vorl. über d. Icosaeder S. 6. 



Tom. XXXUI. 



