über die Uniformisirung Miemannscher Flächen. 5 



eindeutige, wenn auch unverzweigte Funktion der Fläche, so liegen die Verhältnisse 

 niclit mehr so einfach. Es fragt sich dann, ob der geschlossene Umlauf, den ^ durch- 

 läuft, sich auf der Fläche zu einem Punkte oder nicht zusammenziehen lässt, ohne zu 

 zerreissen. 



Fragestellung. 



6. Die Aufgabe soll die Existenz einer derartigen Punktion *; = ■>? f^) zeigen, 

 dass wenn y — y i/) eine unverzweig-te Funktion der Fläche F symbolisirt, sowohl y 

 als £■ sich durch »; eindeutig darstellen lassen. 



Aus dieser Forderung an t] = tj u) geht hervor, dass tj [s) in allen Punkten 

 ttx (k — 1, 2, ...,« + 1) verzweigt ist. AVäre nämlich r^ (^) in der Umgebung von a« 

 eindeutig, so würde ein einfacher Umlauf um a,. denselben i;-Wert wiedergeben, während 

 bei geeigneter Wahl der Funktion y ein neuer Wert mindestens eines Zweiges von y 

 zum Voischein kommen würde. 



Über a„ hinaus kann j; {z) noch andere Windungspunkte besitzen Um aber 

 keine Sonderstellung vollkommen regulären Stellen von i''' zu erteilen, wollen wir unsere 

 ij-Funktion unter den nur in a, , a^)-- •,«« + ! verzweigten Funktionen suchen. 



7. Wir denken uns deshalb eine über die <--Ebene ausgebreitete, nur in a,, a.^, 

 . ..,a„ + i verzweigte mehrblättrige Fläche 0, auf der 7i{s) eindeutig und einwertig ist. 

 Diese Riemannsche Fläche detinirt uns wiederum ein System gleichberechtigter Unter- 

 gruppen /'', /'",... von (?" + '. 



Soll nun r/ (2) uniformisirende Variable aller auf F eindeutigen Funktionen 

 y :=^ y iz) sein, so ist ja hinreichend, dass sämtliche /""' Untergruppen von G sind. 

 Denn erstens folgt aus der Einwertigkeit von ri (2) auf cP, dass s {ïj) eine eindeutige 

 Funktion ist. Und weiter : jedesmal wo rj in sich übergeht, geht auch y in sich über, 

 d h. y{)j) ist auch eine eindeutige Funktion. Ist aber y = y{s) keine eindeutige) 

 wenn auch unverzweigte Funktion auf F, so ist darüber hinaus notwendig, dass keine 

 jener gleichberechtigten Untergruppen einen Umlauf von G enthält, der sich nicht auf F 

 zu einem Punkte zusammenziehen lässt. 



8. Durch diese Auffassung des Problems stehen wir zuerst vor einer gruppen- 

 theoretischen Aufgabe. Es handelt sich darum, zu (?" + ' ein System gleichberechtigter 

 Untergruppen 7'', /'", ... zu finden, die alle in G eingehen und keinen Umlauf ent- 

 halten, der sich nicht auf F zu einem Punkt zusammenziehen lässt. Dieser Aufgabe 

 werden wir eine derartige Lösung geben, dass das System gleichberechtigter Unter- 

 gruppen sich in eine ausgezeichnete Untergruppe von (r""*"' reduzirt. 



Nach Lösung dieser Aufgabe tritt uns eine geometrische Aufgabe entgegen, in- 

 dem wir über die .«•-Ebene die geschlossene, mehrblättrige Fläche auszubreiten haben, 



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