6 Severin Johansson. 



die von den Untergruppen /'', F" , . . . definirt wird. Bei unserer Lösung der gruppen- 

 theoretischen Aufgabe wird '/' eine regulär verzweigte Fläche. 



Für diese Fläche gilt es dann, den Beweis der Existenz von einer einwertigen 

 und eindeutigen Funktion zu erbringen, und das tritt uns entgegen als eine dem Pro- 

 blem angehörige funktionentheoretische Aufgabe. 



Die gruppentheoretische Aufgabe. 



9. Indem wir uns zuerst der gruppentheoretischen Aufgabe zuwenden, wird not- 

 wendig, ein System Erzeugender der Gruppe (?" + ' festzulegen. 



Deshalb beschreiben wir folgenden Umlauf in der ^-Ebene. Indem wir von ei- 

 nem regulären Punkte, d. h. einem von den Punkten a,. verschiedenen Punkte, aus- 

 gehen, rücken wii' gegen a^ an. umkreisen denselben in dessen unmittelbarer Nähe und 

 kehren so denselben Weg vom Punkte a>, zurück; diesen Umlauf nennen wir A-^. 



Es entstehen so (w + 1) wohldefinirte Elementarumläufe A^, A., . . ., J.„ ^_, , die 

 ersichtlich ein System Erzeugender der Gruppe 6?" + ' bilden. Bei allen Umläufen wird 

 dieselbe Umlauf srichtung festgehalten. 



Diese Erzeugenden sind einer Bedingung unterworfen. Wir bemerken nämlich, 

 dass der Umlauf 



auf der ^-Kugel zu einem regulären Punkte zusammengezogen werden kann. Das besagt 

 aber, dass Aj A2 . . . A„ + 1 der identische Umlauf ist, d. h. 



A^A.,...A^^_^^ = l. 



Mehrere Bedingungen sind nicht vorhanden, und aus den hiermit definirten Um- 

 läufen Ax lässt sich die ganze Gruppe G^" + ' durch Kombination und Iteration aufbauen. 



10. Es gilt für uns, zu G ein derartiges System von^Untergruppen zu finden, 

 dass jeder Umlauf dieser Gruppen, auf F niedergelegt, sich daselbst zu einem Punkt zu- 

 sammenziehen lässt und somit keinen eigentlichen Periodenweg auf F bildet. Dann be- 

 merken wir gleich, dass wir stets, falls wir zwei solche nicht-Periodenwege kombiniren, 

 einen Weg auf F bekommen, der sich zu einem Punkte zusammenziehen lässt Unsere 

 Aufgabe ist also gelöst, wenn wir innerhalb G ein System von Substitutionen auswählen, 

 die sich alle auf F zu einem Punkte zusammenziehen lassen, in welchem Blatte sie 

 auch anfangen, und eine Untergruppe zu G aus diesen Substitutionen als Erzeugenden 

 aufbauen. Nun geht noch dazu die Eigenschaft eines solchen Schnittes, sich zu einem 

 Punkte zusammenziehen zu lassen, nicht verloren bei Transformation mit jedem beliebi- 

 gen Umlaufe, und die mit unserer so gefundenen Untergruppe innerhalb tr" + ^ gleich- 



Tom. XXXIII. 



