über die Uniformisirung Riemannscher Flächen. 7 



berechtigten Untergruppen besitzen also auch die Eigenschaft, dass ihre sämtlichen 

 Schnitte sich auf F zu einem Punkte zusammenziehen lassen. 



Weil die einzigen Verzweigungspunkte der Riemannschen Fläche F die Punkte 

 a, , ttj, . . ., a„_^i sind, so schliesst sich der Umlauf 



A^A^...A^^^ 1) 



in allen Blättern von F. Dieser Umlauf gehört also zu 6r. Darüber hinaus kann die- 

 ser Schnitt auf der über die ^-Kugel ausgebreiteten Fläche F zu einem Punkte zusam- 

 mengezogen werden und ist somit eine Substitution der Beschaffenheit, die wir zum 

 Aufbau unseres Systems F', /'", . . . wünschten. 



Nun geschieht weiter, dass unter den Operationen innerhalb G Potenzen von 

 Ay. vorkommen. Ä;,, sei dann die kleinste positive ganze Zahl der Beschaffenheit, dass 

 Ay''''- der Gruppe G angehörig ist; k,, ist dann die kleinste derjenigen Zahlen, die an- 

 geben, nach wie vielen Umläufen um a^ herum sämtliche Zweige von F in sich zurück- 

 kehren. Es ist nicht ausgeschlossen, dass eine solche Zahl für gewisse Stellen a„ nicht 

 existirt. Indes um einen gleichförmigen Ausdruck zu gewinnen, adjungiren wir jeder 

 Stelle «K eine Zahl ä,\ und setzen bei denjenigen Stellen o-x, wo keine Umläufe im 

 Stande sind, sämtliche Zweige in sich zu permiitiren, ky, = oo. 



In solcher Weise wird innerhalb G ein System von Substitutionen 



V" (x = l, 2,....n + l) 2) 



festgelegt, die ersichtlich alle sich auf F zu einem Punkte zusammenziehen lassen. 



Ist nun S die Symbole eines beliebigen Umlaufes von G"~^\ so liegen die Sub- 

 stitutionen 



S-'wS, 3) 



wo ^ 



«=^^^2...4„^j oder 4^", 



innerhalb G, weil G eine ausgezeichnete Untergruppe von 0" + ' ist. Noch weiter ist 

 S " ' o) 8 kein Periodenweg auf F. 



Lassen wir so S die ganze Gruppe G^" + ^ durchwandern, so entstehen unendlich 

 viele Systeme 3. Durch alle diese Systeme werden aus G" + ^ alle die Umläufe ausge- 

 sondert, die innerhalb G^" + ' mit der Substitution 1 und den Individuen in System 2 

 gleichberechtigt sind. 



Aus der hiermit gewonnenen Gesamtheit von Substitutionen (festgelegt durch die 

 Substitution 1, das System 2 und die unendlich vielen Systeme 3) bauen wir in ge- 

 wöhnlicher Weise durch Iteration und Kombination eine Gruppe auf, die wir 



oder küi'zer r{k) nennen. 



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