8 Severin Johansson. 



11. Die Gruppe F (k) besitzt nun alle die Eigenschaften, die wir von unserer 

 gesuchten Gruppe wünschten. Sie ist nämlich eine Untergruppe von G und ihre sämt- 

 lichen Umläufe lassen sich zu einem Punkte zusammenziehen. 



Weil 



{8~'(oS)" = S-'(o" S, 

 so hat eine beliebige Substitution von F (k) die allgemeine Form 



I = II c 

 wo 



ff ^S^'^oi"" s 



Umgekehrt ist auch jede Substitution dieser Form in F (k) enthalten. 

 Ti-ansformiren wir diese Substitution mit einem beliebigen Umlaufe S von G^" + ', 

 so fällt aus 



i 



wo 



s ^IS=S^'. II a^.S=S~\aiG^...a^.S=S~'a^S.S'^a^S...S~^a^S^nal, 



Hieraus lesen wir ab, dass öJ und somit auch S ^H S m F{k) enthalten sind. 

 Wir gewinnen also den Satz: 



F {kl, k-i, . . .,k„_^.i) ist eine ausf/e^eichnete Untergruppe von G"'^^. 



Die mit F {k) innerhalb ö" + ' gleichberechtigten Untergruppen decken sich also 

 mit Fik). Mit diesem Satze ist die gruppentheoretische Aufgabe zu einer gewissen 

 Abschliessung gebracht worden. Wü- haben, so wie wir es wünschten, ein System von 

 Untergruppen zu G gefunden. 



12. Unsere Gruppe F(k) ist ersichtlich der Beschaffenheit, dass wenn wir 

 symbolisch schreiben 



1) 



A^« =1 (x=l, 2,... ,71 + 1), 



alle Substitutionen innerhalb F (k) sich auf die Identität reduziren. Umgekehrt ist jede 

 Substitution von (?" + ', die mittels der Gleichungen 1 sich auf die Identität reduzirt, 

 von der Form 



v = 1 



wo 



(o = A, A., . . . A , , oder w = i4„ " . 



Tom. XXXni. 



