über die Unifonnisining Riemannscher Flächen. 9 



Aber die Relationen 



^1 ^2 • • ■ ^« + 1 — 1' 

 A "•'<■ = 1 



definiren eine Gruppe G{JCi, /co, . . ., 7c„ + ,) = ff (Zc). Diese Gruppe ist meroëdrisch iso- 

 morph mit G^" + ' von unendlich hoher Meroëdrie. Der identischen Substitution innerhalb 

 G{ki, Ä:,, . . ., Ä;„ + i) entsprechen zufolge dieser Meroëdrie unendlich viele Substitutionen 

 innerhalb G"'^\ die in ihrer Zusammenfassung eine ausgezeichnete Untergruppe zu G^" + ' 

 konstituiren. — Die oben entwickelte Überlegung besagt dann, dass diese ausgezeichnete 

 Untergruppe sich mit r{ki, ko, . . ., k„ + i) deckt. 



Eine beliebige Substitution von ff" + ^ ist ersichtlich als eine Kombination einer 

 Substitution von G {k) und einer von I'{k) darstellbar, was wir analytisch in folgender 



Gleichung ausdrücken: 



G" + ' = Oik).r{k). 



13. Die Behandlung der gruppentheoretischen Aufgabe schliessen wir mit zwei 

 Sätzen von r{k,, ^2, . . ., ä;„ + i) ab. 



Der erste lautet: 



Wenn r^ (z = 1, 2, . . ., ?i + 1) beliebige game positive Zahlen oder oo sind, so 

 ist r{rikt, v^ki,..., v„ + ik„ + i)=^ r{yk) Untergruppe von l'{k^, k.,, . . . ,k„ + i) = F {k). 



Die Substitutionen von F (vk) sind nämlich von der Form 



wo ra = A/ " oder .4i A ■ • • ^« + i- Diese Substitution aber gehört ersichtlich r{k) an. 

 Um zum zweiten Satz zu gelangen, der nur für endliche k.t gültig ist, denken 

 wh- uns eine in ai, a2, . . ., a„ + , regulär verzweigte Riemannsche Fläche 



deren Blätter in a,. in Zykeln von k^ Blättern in jedem Zyklus zusammenhängen. Für 

 eine derartige Riemannsche Fläche nimmt die Geschlechtsgleichung 



IV — 2m = 2p~2, 

 wie zu ersehen ist, die folgende Form an 



denn iv oder die Anzahl einfacher Windungspuukte ist deutlich 



Legen wir nun die Umläufe von 7' (k) auf g (k) nieder, so entstehen daselbst 

 Wege, die sich alle zu einem Punkt zusammenziehen lassen. Liegt andererseits ein 



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