10 Severin Johansson. 



derartiger Umlauf auf (p (Je) vor, so leuchtet ohne weiteres ein, dass derselbe F Çk) an- 

 gehört. Denn lässt sich eine Kui^ve zu einem Punkt zusammenziehen, so geschieht es 

 so, dass wir nach und nach die Windungspunkte, die innerlialb der Kurve liegen, ab- 

 schnüren. Diese Abschnürung lässt sich aber so bewerkstelligen, dass wir durch konti- 

 nuirliche Verschiebung von C (ohne irgend einen Punkt a^ zu überstreichen) diesen 

 Umlauf in Schleifen C',, C,, ... auflösen. Eine Schleife geht dabei von einem regulä- 

 ren Punkte aus, durchläuft gewisse Blätter und rückt gegen einen Windungspunkt an, 

 den sie vollständig ein oder mehrere Male umwindet, wonach sie denselben Weg zum 

 Ausgangspunkte zurückkehrt. C\ hat also die Form 



und C selbst die Form 



C gehört somit der Gruppe r(li), und wir erhalten den zu gewinnenden zweiten Satz: 

 Wenn alle Zahlen ^^ emUichc Zaiilen sind, so deckt sich die Gruppe F [k^ , k^, 

 . . ., A:„ + i) mit der Gesamtheit aller derjenigen Wege, die auf cp (ki, k2, . . ., k„^i) 

 sich zu Punkten zusammenziehen lassen, ohne zu zerreissen. 



14. Dieser Satz begründet einen wichtigen Fallunterschied, je nachdem p — 0, 

 p= \ oder ^ > 1 . 



I. Ist 2^ — ^j oder > ('2~'^)"^'^' ^° bestehen auf cp (k) bekanntlich nur 



solche Umläufe, die sich zu Punkten zusammenziehen lassen. r{k) ist also in diesem 

 Falle identisch mit der von der i'egulären Fläche definirten ausgezeichneten Untergruppe 

 G„, zu G""*"^ und somit eine ausgezeichnete Untergruppe von endlichem Index zu 

 G"^^. G (k) ist eine endliche Gruppe und holoedrisch isomorph mit den Bewegungen 

 der regulären Fläche in sich. Diesen Fall nennen wir den rationalen Fall. 



. Die möglichen Lösungen der obigen Ungleichheit sind in endlichen Zahlen, die 

 einzig hier in Frage kommen 



« = 1 ; /c, = Ä-2 = /<; > 1, m = k, 



n = 2 ; ]Ci=2, kj = 2, lc^ = k, m — 2k, 



kl = 2, k2 = B, h.i = 3, m =12, 



kl = 2, /^2 = 3, Ä:3 = 4, m = 24, 



kl = 2, /'2 = 3, k.i = 5, ni = 60, 



in welchen wohlbekannte Zahlen uns entgegentreten. Die regulären Flächen des rationa- 

 len Falles sind somit keine anderen als die der regulären Körper. G (k) ist also mit 

 den Dreiecksgruppen der regulären Körper holoedrisch isomorph. 



Tom. XXXIII. 



