tjher die Uniformmrimg Eiemannseher Flächen. 11 



II. Ist zweitens p = l oder 2, ('2~2ir)~^' ^*^ liegen die Möglichkeiten vor: 



n = 2; ki = 3, 1(2 = 3, /.-3 = 3, 



/ij = ^, «2 ^^ *i "'S ^^ 4, 



fcj = 2, A-2 = 3, /i-j = 6, 

 H = 3 ; ÄTj = Ä:2 = /fj = /i'i =2. 



J'(l') deckt sich in diesem Falle mit der Gruppe aller derjenigen Wege auf der Rie- 

 mannschen Fläche (p (k), die die abelschen Integrale erster und zweiter Gattung in sich 

 überführen. Wir nennen diesen Fall den elliptischen. 



» + i 

 ni. Die Ungleichheit /^I'ô^oy)^^ lässt unendlich viele Lösungen zu, die 



1 

 alle durch ^ > 1 gekennzeichnet werden. F (k) deckt sich in diesem Falle nicht länger 

 mit der Gruppe derjenigen Umläufe auf cf (k), die die abelschen Integrale erster und 

 zweiter Gattung in sich überführen. Diesen Fall nennen wir den allgemein automor- 

 phen oder den fuchs' sehen. 



Wenn wir in die obige Falleinteilung die Fälle einordnen, wo unter den Zahlen 

 äTk unendlich grosse vorkommen, haben wir im elliptischen Falle die Möglichkeiten an- 

 zugeben 



n = 1 ; kl =Jc2 = 00, 



n = 2 ; ^1 = 2, Ä;2 = 2, ÄJj = 00, 



während im rationalen Falle keine der Zahlen ky. unendlich sein kann. Die Ungleich- 



.1 + 1 



heit > ("2~'>T~)'^^ wiederum, die den fuchs'schen Fall festlegt, hat unendlich viele 



1 

 Lösungen, unter denen eine oder mehrere Zahlen k-^ = 00 zu ersehen sind. 



Die geometrische Aufgabe. 



15. Wenn wir uns nunmehr zu der geometrischen Aufgabe wenden, so gilt es 

 über die .^--Ebene eine in a, , ao, . . ., a„_^.^ regulär verzweigte Riemannsche Fläche 

 0{ki, Ä'a, . . ., Ä:„ + i) = (P (Ä;) auszubreiten, die der Art ist, dass die von (k) definirte 

 ausgezeichnete Untergruppe zu G"~^^ sich mit r{k) deckt. 



Sodann ist vorläufig hervorzuheben, dass im rationalen Falle (k) mit <f (k) iden- 

 tisch ist, während das Entstehen von (k) für alle übrigen endlichen ky, so denkbar 

 ist, dass wir über die Ufer eines kanonischen Schnittsystems von (f (k) mit cp (k) kon- 

 gruente Flächen („Blätter") aus wachsen lassen; (k) tritt dabei als eine nnendlich- 

 fache reguläre Überdeckung von q: [k) hervor. 



16. Allgemein aber denken wir uns die Lösung der geometrischen Aufgabe 

 folgendermassen vollzogen : 



N:o 7. 



