12 Severin Johansson. 



Wir nehmen einen beliebigen Umlauf S von (?" + ', der in einem regulären Punkte 

 ^0 anfängt und schliesst. Falls nun S der gruppe r{k) angehört, sagen wir, der End- 

 punkt gehört dem Ausgangsblatte an; wenn ^5' der Gruppe r{k) nicht angehörig ist, so 

 rechnen wir den Anfangspunkt und den Endpunkt zu verschiedenen Blättern. Unter- 

 scheiden sich dabei ZAvei Umläufe ^S'i und S2 nur durch Substitutionen aus r{k) von 

 einander, so gehören ihre Endpunkte demselben Blatte an. 



Es entsteht so, wenn Ä die Gruppe G^" + ' durchläuft, eine geschlossene, zusammen- 

 hängende, nur in o« werzweigte Fläche. Diese Fläche legt ein System gleichberechtig- 

 ter Untergruppen zu G" + ' fest. Da abei- unter diesen die ausgezeichnete Untergruppe 

 r{k) vorhanden ist, so sind alle Untergruppen mit derselben identisch. Die Fläche ist 

 somit die zu findende Fläche {k). 



17. Ist .S ein beliebiger Umlauf aus (?"''"', so enden die Umläufe S und 

 S An'' in verschiedenen Blättern, wenn h nicht mit k,, divisibel ist, während >S und 

 SA"''''''' in demselben Blatt enden. In ch, hängen also die Blätter immer in Zykeln 

 von Äh Blättern in jedem Zyklus zusammen. {k) ist also regulär verzweigt. 



Ein geschlossener Umlauf auf (k) gehört nun immer zu F {k) und ist also von 

 der Form 



Ein derartiger Umlauf lässt sich aber, ohne zu zerreissen, zu einem Punkt zusammen- 

 ziehen. Jeder Umlauf lässt sich also zusammenziehen, womit bewiesen ist, dass die 

 Fläche (k) einfach zusammenhängend ist. 



Die funktionentheoretische Aufgabe. 



A. Vorbereitende Sätze. 



18. Unsere Aufgabe ist, auf der durch die obige Untersuchung gewonnenen 

 Fläche (k) die Existenz einer eindeutigen und einwertigen Funktion 



rj{z; Ä;,, Ä-g, . . ., k„ + i) — 'rj{z; k) 

 darzulegen. 



Diese Funktion bildet (k) auf ein Gebiet R(\, k-^, . . .,k„^i) =: H {k) in der 

 »/-Ebene ab. Dieses Gebiet überdeckt ersichtlich nirgends sich selbst. Aber noch mehr. 

 Jeder geschlossenen Kurve innerhalb H (k) entspricht eine geschlossene Kurve auf (P (Ä") ; 

 jede geschlossene Kurve auf {k) lässt sich ohne zu zerreissen auf ik) zu einem 

 Punkte zusammenziehen, und es leuchtet ein, dass auch jede geschlossene Kurve inner- 

 halb H (k) sich zusammenziehen lässt, d. h. H [k) ist einfach zusammenhängend. 



Drei Fälle sind möglich: 



1) H {kl überdeckt die ganze Ebene. 



2) H (k_ umfasst die ganze Ebene bis auf einen Grenzpunkt. 



Tom. XXXITI. 



