üher die Uniformisirung Eiemannscher Flächen. 13 



3) H {k) ist irgend ein einfach zusammenhängender, von Kurven begrenzter Teil 

 der Ebene. 



Jede dieser Möglichlieiten kommt bei der Lösung unserer funlvtionentheoretischen 

 Aufgabe zum Vorschein. 



19. Unseren beiden gruppentheoretischen Sätzen von r{k) entsprechend, sind 

 zwei funktionentheoretische Sätze von i]{^; k) sogleich vorläufig hervorzuheben: 



')](/; kl, k2, . . .,k„ + i) ist eine eindeutige Funktion von i]{s; v^ki, vaZcj, ..., 

 ■i'„ + i Ä:„ + i), ivo i'i, i'2, . . -, ''" + 1 ffdn^e positive Zahlen sind. 



Die durch r/ = >; (^; k^, Ao, . . ., ä:„^_i) eindeutig darstellbaren Funktionen sind 

 also auch durch ri^rj{.e; v-^k-^, r^ /lo, . ■ -, i'„ + i ä;„^i) eindeutig ausdrückbar. Vor allem 

 ist zu beachten, dass alle in ßi , «2, . . . , fl„ + i verzweigten Funktionen eindeutig in 

 VI (z; oo, oo, . . . , oo) sind ^). 



rj [s; k,, k.2, . . ., k„^i) ist unversiveigt auf q/ {ki, A'a, . . . , /t„ + i) und geht bei al- 

 len Umläufen, die sich zusammemiehen lassen, und nur bei diesen, in sich über. 



Im rationalen Falle wird ri[z; k) eine eindeutig umkehrbare unverzweigte Funk- 

 tion auf einer Riemannschen Fläche des Geschlechtes Null, d. h. e {rj) wird eine ratio- 

 nale Funktion. Im elliptischen Falle werden wir im Wesentlichen auf die abelschen In- 

 tegrale erster Gattung des hier zu Grunde liegenden elliptischen Gebildes zurückkommen. 

 Im fuchs'schen Falle ersehen wir, dass das nicht länger eintrifft. Vielmehr werden wir 

 zu allgemeineren Funktionen der hier betrachteten höheren Gebilde kommen. 



B. Lösunfii- der Aufgabe. 

 I. Der rationale Fall. 



20. Im rationalen Falle ist {k) mit if- {k) identisch und somit endlichblättrig 

 und vom Geschlechte Null. >/(^-; k) ist somit in diesem Fall eine Hauptfunktion auf 

 q>{k). 



Hiermit befinden wii' uns aber auf dem Gebiete wohlbekannter Untersuchungen. 

 <p {k) ist ja die Fläche der Körperirrationalitäten, und wir können schliessen, dass im 

 Falle w = 1 



Jn{,; k,k){='^^, 1) 



während für n = 2 



r,iz; k„ k„ k,) = s[j^^, ^, /-, -— ,— — j. 2) 



Weil ^' (>/) eine rationale Funktion ist, überdeckt H (k) im rationalen Falle die 



') Vgl. PoiNCARB, Acta math. IV, Klein, Math. Ann. Bd 14 p. 159 und Ikos. p. I3l, sowie die Ar- 

 beiten von Papperitz, Math. Ann. Bd 34 (1888), und W. Wirtingee, Sitzungsberichte der Kaiserl. Acad. 

 der V^^issenschaften in Wien, Mathem. naturw. Classe Bd CXI Abth. II a, Juli 1902 



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