über die Uniformisirung Riemannscher Flächen. 15 



Aber noch mehr. Bei einem Umlaufe in der ^--Ebene wird u um eine lineare 

 Substitution verändert. Dasselbe gilt dann auch von î; (^■; k), d. h. 



Die Zweige von y (^; k) sind lineare Funktionen von einander. 



Die Schwarz'sche Differentialinvariante [r/J^ ist somit wieder in der ^--Ebene ein- 

 deutig. Nun ist aber 



und eine einfache Zwischenrechnung giebt, weil 



1.1.1 



die Gleichung 



ttj /t2 /tj 



kL = -B('ä'..' -^l. h, J^3)- 



yi [2; k) ist also wiedei' im elliptischen Falle eine Dreiecksfunktion imd zwar eine 

 Dreiecksfunktion zweiter Art. 



H (kl, ki, A3) deckt sich mit irgend einer Dreiecksteilung der parabolischen 

 Ebene und umfasst also die ganze Ebene bis auf einen Grenzpunkt. 



Der Fall % = 2, Ä:, = ä;^ = 2, A:^ = 00 ist ohne Schwierigkeit aus der obigen 

 Darstellung zu erledigen. 



b.) w = 3. 



23. Ist n — 3, so haben wir die einzige Möglichkeit k^ = k, = k^ = A:4 = 2. 

 Dann können wir wieder setzen 



r, (.; 2, 2, 2, 2) = ^i±l (j «d - (i^ > 0), 



wo u durch die Gleichung 



du - - 



u' = -^^= [{z- a,) (^ - «2) (^ - fla) (^ - Ci)} ^ 



als ein abelsches Integral erster Gattung festgelegt wird. 



H (2, 2, 2, 2) entsteht durch lineare Transformation der Parallelgitterteilung 

 der M-Ebene und überdeckt somit die ganze Ebene bis auf einen Grenzpunkt. 



[rj]^ erweist sich wieder als eine i'ationale Funktion, indem nämlich 



r , 2 U 4- — [ («■ - «2) («1 - «3) («1 



^ _^ _ , ^**) 



{z~a,){z~a.,){z-a.,){z- " '*' 



(a2-a3)(«2-a4)(«2 — "i) , («3 — «a) («3 - «1) («h - «-J , («4 — «i) ("'t - «2) («a — «3) "|t 

 "*" z-Ui z-a,^ z — a^ Jj 



= B{z; 2, 2, 2, 2), 

 wo A eine Konstante ist. 



N:o 7. 



