16 Severin Johansson. 



III. Der fuchs^sche Fall 

 a) n = 2. 

 24. In diesem Falle befriedigen die Zahlen ä:, , ä^ und Äg die Ungleichung 



und eine einfache Überlegung bestätigt den hier so nahe liegenden Gedanken, dass wir 

 es mit den Dreiecksfunktionen dritter Art zu tun haben. Die Funktion 



/ , 7 7 X /'1 1 l z — a. Un — a-,\ 

 r, {z; k,, k,, k,) = . ^^, ^, ^: j^^ . ^^^J 



erweist sich nämlich als eine eindeutige und einwertige Funktion auf (P(ki, k,, ks). 

 2 (t;) ist also eine fuchs'sche Funktion deren zugehörige Grenzkreisgruppe von der Signa- 

 tur (0; 3; ky, h^, k^ ist. 



H{ky, ko, ks) fällt mit dem Dreiecksnetze des Grenzkreises zusammen und ist 

 somit einfach zusammenhängend. Als diesen Kreis können wir den Einheitskreis dei' 

 ■>j-Ebene wählen. 



b) n>2. 



Verschiedene Fragestellungen. 



25. Ist w > 2, so tritt uns die Vermutung entgegen, dass auch jetzt i] (s; ki , k2, 

 . . . , Ä;„ + ,) sich so bestimmen lässt, dass ^ {rj) eine fuchs'sche Funktion wird, deren 

 Gruppe von der Signatur (0; w + 1; ki, k.^, . . ., k„_i_i) ist. 



Diese Vermutung ist jedenfalls berechtigt. Liegt nämlich irgend eine einwertige 

 Funktion vor, deren Gruppe diese Signatur besitzt, so ist die Umkehrungsfunktion oder 

 polymorphe Funktion eindeutig und einwertig auf einer Fläche von derselben Struk- 

 tur wie {k), wobei bestimmte Verzweigungsstellen ausfallen. 



Ist die oben postulirte Lösung möglich, so bildet die Funktion rjÇ^; k) unsere 

 Fläche (p (k) auf den Hauptkreis der fuchs'schen Gruppe ab. Als diesen Hauptkreis 

 können wir den Einheitskreis der 7j-Ebene wählen, und unsere Funktion besorgt somit 

 eine Abbildung der Fläche (k) auf das Innere des Einheitskreises. 



26. Umgekehrt lässt sich aber auch zeigen, dass, falls wir eine derartige auf 

 unserer Fläche <P (k) eindeutige und einwertige Funktion ausfindig machen können, dass 

 diese Funktion die Fläche auf das schlichte Innere des Einheitskreises abbildet, diese 

 Funktion die Umkehrungsfunktion einer fuchs'schen Funktion ist, deren Gruppe die Sig- 

 natur (0; w+1; kl, fc, . . ., Ä:,,.,.,) besitzt, oder kurz gesagt: 



Deckt sich H {k^, k^, . . .,k„j^{) mit dem Einheitskreise, so ist 2 {ni) eine fuchs'- 

 sche Funktion von ï}. 



27. Dieser Satz hängt mit dem folgenden zuerst zu beweisenden Satz eng zu- 

 sammen: 



Tom. XXXIir. 



