über die Unifonnisirung Riemannscher Flächen. 17 



Wenn tj^ (^) und t]-, (^) beide die Fläche <I> {k) auf das schlichte Innere des 

 Einheitskreises abbilden, so ist 



wo S eine lineare Verschiebung in Bezug auf den Einheitskreis, d. h. eine lineare 

 Transformation des Inneren des Einheitskreises in sich bedeutet. 



Um den Beweis dieses Satzes zu erbringen, definiren wir eine dritte Funktion 

 1J3 [s] durch die Gleichung 



WO wir die lineare Verschiebung S des Einheitskreises in sich so wählen, dass 1^3 {s) 

 gleichzeitig mit ■rl^ [z) verschwindet, und dass die beiden Funktionen in einem gegebenen 

 Punkte denselben Argumentenwert aufweisen. 



Die so festgelegte Funktion iq^ {/) ist nun auch eindeutig und einwertig auf 

 {k). Die Funktionen ??, {£) und iq^ (s) sind also eindeutige Funktionen von einandei-, 



und der Qvotient — ist somit eindeutig innerhalb des Einheitskreises von sowohl der /yr 



als der ■»yg-Ebene; darüber hinaus bleibt dieser Qvotient, da >;, und r^a gleichzeitig ver- 

 schwinden, daselbst stets endlich und von Null verschieden. 

 Das harmonische Potential 



n = loe: 



ist also innerhalb des Einheitskreises der ï/3-Ebene eine eindeutige, endliche und stetige 

 Punktion der realen Veränderlichen lOy und r.io, wo 



»Ja = «1 + Î «2 . 



Betrachten wir nunmehr in der »jg-Ebene einen mit dem Einheitskreise konzen- 

 trischen Kreis, dessen Radius r kleiner ist als Eins. Wenn 7]^ auf der Peripherie dieses 

 Kreises verbleibt, so ist 



hl I < 1 



und folglich 



u < los; — . 

 r 



Wenn aber ein harmonisches Potential für ein Gebiet eindeutig, endlich und 

 stetig ist, so erreicht das Potential sein Maximum auf der Berandung des Gebietes. 



Also kann u innerhalb des Kreises mit dem Radius r nirgends Werte annehmen, 



die log überschreiten. 

 r 



Lassen wir r gegen Eins zunehmen, so ist 



lim log — = , 

 , = 1 r 



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