18 Severin Johansson. 



und wir schliessen, dass innerhalb des Einheitskreises der rj^-TShene u nirgends positiv 

 wird. Es ist also in jedem Punkte von »/> (k) 



Genau ebenso folgt, dass 



<l. 



<l. 



Wir haben also in jedem Punkte von 'P (k) notwendig 



und also 



>]i = îi e , 



wo if eine reelle Konstante ist. 



Nach der Voraussetzung aber haben t/i und tj^ in einem gewissen Punkte den- 

 selben Argumentenwert; also ist 



und 



oder 



womit der Satz bewiesen ist ^). 



Vi = 'h 



28. Sei nunmehr rj (.s-) eine Funktion, die unsere Fläche '/' (k) auf das Innere 

 des Einheitskreises abbildet; tj^, t^o» • • • seien ihre Zweige. Wir wollen beweisen, dass 

 diese Zweige durch Veischiebiing in Bezug auf den Einheitskreis zusammenhängen. 



Unsere Fläche </> (k) ist eine reguläre Fläche. Wir können also die Wertmenge 

 der Funktion rj (s) insoweit beliebig auf der Fläche ausbreiten, ohne dass y (^) aufhört 

 auf der Fläche eindeutig und einwertig zu sein, dass wir nach Willkür ein Blatt als 

 Träger des Ausgangszweiges % (s) wählen. Denken wir uns zwei verschiedene derar- 

 tige Ausbreitungen so vollzogen, dass ein und dasselbe Blatt das eine Mal r;, {^), das 

 andere Mal tj^. (s) trägt Dann sind nach dem obigen Satze diese Zweige lineare 

 Verschiebungen von einander in Bezug auf den Einheitskreis. 



Die Zweige von r; [s) gehen also aus einander durch lineare Verschiebung des 

 Einheitskreises in sich hervor. Diese Verschiebungen bilden eine Gruppe, die ersichtlich 

 von der Signatur (0; w4- 1; fc, , Ä;^, . . ., /(:„ + ,) ist. Hiermit ist aber der auf der Seite 

 16 formulirte allgemeine Satz vollständig bewiesen. 



20. Es treten uns folglich zwei aeqvivalente Aufgaben entgegen. Die eine 

 steckt in der postulirten Bestimmung der Funktion i] {^; k) als Umkehrungsfunktion 

 einer fuchs'schen Funktion, die andere verlangt die Abbildung der Fläche (k) auf 

 das Innere des Binheitskreises. 



') über den obigen Beweis vergl. Poincaué, Acta math. IV, p. 231—232. 



Tom. XXXIII. 



