über die Uniformisirung Riemannscher Flächen. 19 



Als Umkehrungsfunktion einer fuchs'schen Funktion befriedigt r; (^; k) bekannt- 

 lich die Differentialgleichung der polymorphen Funktionen des Geschlechtes Null: 



[^L = ,rTr^ 



1 



...^iu^' 



^"-3+2^ ^ ^_a " («K-«.)(«x-«2)---K.-«._i)(«x-«. + i)---(«K -«„ + >) 



Die in dieser Differentialgleichung im Polynome G„ _ 3 auftretenden Koeffizienten, 

 die so genannten accessorischen Parameter, sind unbestimmt, und es schliesst sich den 

 obigen Fragestellungen eine neue Aufgabe analytischen Charakters an, die ebenfalls mit 

 den oben erwähnten aeqvivalent ist und die eine derartige Bestimmung der accessori- 

 schen Parameter verlangt, dass ^ (rj) eine fuchs'sche Funktion wird. 



Aus der obigen Diffeiontialgleichung fallen bei Spezialisirung die im rationalen 

 und elliptischen Falle auftretenden heraus. 



Die oben vorgeführten Fragestellungen nehmen eine zentrale Stellung in der 

 Entwickelung der automorphen Funktionen ein. Sie bilden eines der sogenannten Fun- 

 damentalprobleme der Theoi'ie dieser Funktionen '). 



30. Von den verschiedenen Lösungsmethoden dieser Fundamentalprobleme ist 

 die am weitesten reichende die von Poincaké und Klein gleichzeitig gefundene Konti- 

 nuitätsmethode. Die Klein'schen Mitteilungen entbehren doch strenger Beweise, und auch 

 die Untersuchungen von Poincaké -), obwohl scharfsinnig und bewundei'ungswert, haben 

 nicht alle Schwierigkeiten überwunden. In den letzten Jahren hat sich Herr Feicke^) 

 mit dem Kontinuitätsbeweise eingehend beschäftigt und hat den Beweis von dem 

 Standpunkte einer entwickelten Theoiie der diskontinuirlichen Gruppen aus in Angriff 

 genommen, ohne aber bis jetzt die Probleme vollständig gelöst zu haben. So z. B. liegt 

 für unsere obige Fragestellung die Lösung nur für die Signatur (0; 4; Zci, k-^, k^, ^4) 

 bereit. 



31. Von ganz anderer Seite her hat Herr Schlesinger mit Hilfe seiner Itera- 

 tionsmethode das Problem zu bewältigen versucht. Schlesinger versucht direkt den 

 Existenzbeweis für die Fläche </> (k) zu erbringen. Er sondert dabei aus dieser Fläche 

 endlichblättrige Flächen </'^ des Geschlechtes Null aus, die so beschaffen sind, dass 'l\_^_^ 

 durch Superposition mehrerei- 0a entsteht und lim 0^ = '/' (k) ist. 



A = 00 



Ist nun ^^ (s) eine Hauptfunktion auf '/'^, so ist die Mannigfaltigkeit aller Haupt- 

 funktionen auf <l\ in dem Ausdrucke 



') Vgl. Frickb— Klein, Vorl. über automorphe Funktionen. 



«) Acta naath. IV. 



ä) Gött. Nachr. 1903, H. Ô; Math. Ann. Bd 59, pp. -lig -513. 



N:o 7. 



