20 Severin Johansson. 



«^ z^ + ß^ 



r^z^ + ô^ 



^z^ (|«M^-|S^/|>0) 



enthalten, und die Schlesinger'sche Fragestellung ist nun die, ob die Parameter 



«^ ß^ j'^ 



—, , —, und "1 sich so bestimmen lassen, dass 



ô*- ô d^ 



lim ^, = «? 



existirt und eine einwertige und eindeutige Funktion auf <7> (k) ist. 



Diese allgemeine Aufgabe hat Herr Schlesinger für beliebige a-^ und ky, in Ceel- 

 le's Journal Bd J 10 untersucht. Der daselbst gegebene Konvergenzbeweis, der ja auch 

 einen völlig skizzenartigen Charakter trägt, ist, wie es mir scheint, als nicht stichhaltig 

 anzusehen. 



Für den Fall, dass alle a^ ein und derselben Kreisperipherie angehören und dass 

 alle /.;,- unendlich gross sind, hat Herr Schlesinger vollständiger seine Iterationsmethode 

 in Ceelle's Journal Bd 105 und in seinem Handbuch der Theorie der lin. Diff. Gl. Bd. 

 2, 2 Ss. 258 — 324 entwickelt. Aber auch gegen den daselbst dargestellten Beweis 

 können, wie es mir scheint, erhebliche Einsprüche gemacht werden. So schliesst Herr 

 Schlesinger aus der Ungleichungsfolge 



k I ^ U~l I > 1^2 I ^ • • • 



dass lim ! .a-^ | von Null verschieden ist, ein Schluss, der natürlich nur dann gültig ist, 

 wenn wir zeigen können, dass alle Moduln oberhalb einer von Null verschiedenen 

 Grösse sich halten. Noch weiter gründet sich sein Beweis, dass die Zweige vom lim e^ 

 lineare Funktionen von einander sind, auf eine Grenzbetrachtung, bei der kein Konver- 

 genzbeweis gegeben wird. 



Im Folgenden habe ich zur Lösung der in 29 formulirten Aufgaben eine wesent- 

 lich neue Methode vorgeführt. Diese Methode ist einfach als eine Art vollständiger In- 

 duktion zu charakterisiren. 



Der fundamentale Satz. 



32. Die zu lösende Aufgabe verlangt ja eine Abbildung der Fläche 

 'i>(Ä;i, Ä;2, . . ., Ä;„ + i) auf das schlichte Innere der Einheitskreises. Der Satz, der das 

 Fundament meiner Methode abgiebt, lautet: 



Falls diese Aufgabe für die Fläche (l>{ki^, kt^, . . ., k/^^^'j mit Windungs- 

 punkten iyi a,,, a,-^, ...,a, gelöst ist, so lässt sie sich auch für die Fläche 

 <1> [kl, k.^, . . ., Ä„ + i) lösen, ig bedeutet dabei eine der Zahlen 1, 2, ...,« + 1. 



Die Methode, die zum Beweis dieses Satzes unten entwickelt wird, hat wesentliche 

 Berührungspunkte mit einer von Poincaré in Bulletin de la Soc. Math, de France, T. XI 



Tom. xxxni. 



