über die Uniformisirung Riemannscher Flächen. 21 



(1881) dai'gestellten. Potncaré zeigt, dass auf derjenigen einfach zusammenhängenden Rie- 

 numnschen Fläche, wo eine vorgelegte Funktion und die Funktion r (z-) ') eindeutig 

 sind, stets eine ebenso eindeutige und darüber hinaus noch einwertige Funktion existirt. 

 Dass aber andererseits unsere Methode eine wesentliche Verallgemeinerung enthält, geht 

 aus den folgenden Untersuchungen hervor. 



33. Seien, um an den Beweis zu schreiten, '/' (k,) das Symbol der Fläche 

 '7» (Ä;,- , /c,,, . . ., k^_^^) und tj (^; ä;,,, k,^, . . ., ^',^^^) = rj (z; k,) diejenige Funktion, die diese 

 Fläche auf den Einheitskreis abbildet; unsere Voraussetzung besagt also, dass die Funk- 

 tion rj [^; k,) existirt. 



üie Funktion r/ (^; ä;,) ist auf der Fläche <l>ik,) eindeutig und einwertig; auf die 

 Fläche <1> [k) niedergelegt, ist sie daselbst jedenfalls noch eindeutig, aber mehrwertig. 

 Der Wert Null mag auf <7> (k) in den Punkten o, o', o", . . . zum Vorschein kommen. 

 Diese Punkte liegen über einander in der ^-Ebene. 



Das Potential 



U{k,) = ~log\r]{z; Jc.)\ 



hat also seine kritischen Punkte auf '/> (k) in o, o', o", ... In der Umgebung jedes 

 von diesen verschiedenen Punktes der Fläche <l>{k) ist U {k,) eindeutig, endlich und 

 stetig. Auf der ganzen Fläche (k) ist U (Â:,) positiv. 



34. Füi' die folgende Darstellung wird der grösseren Anschauung wegen vorteil- 

 haft, an die Seite der unendlichblättrigen Fläche '/» [k) ein einfacheres geometrisches 

 Bild der Gruppe J'{k) zu stellen^). 



Dieses Bild gewinnen wir folge ndermassen. 

 Weil die Zahlen k,. die Ungleichung 



/1 1 \ 



>l 



2(2 2kj 



befriedigen, ist es jedenfalls möglich eine fuchs'sche Gruppe zu bilden, deren Erzeugende 

 den Fundamentalrelationen 



A/« = l (x^l, 2,...,n + l), 

 A^ A2 . . . A„ _f, ] = 1 



genügen. 



Diese Gruppe besorgt eine Parzelleinteilung des Inneren (und Äusseren) von 

 dem Einheitskreise in unendlich viele Parzellen. Die Eckpunkte mit endhchem k,, liegen 

 innerhalb des Einheitskreises, während die Punkte mit äT), = 00 sämtlich auf der Beran- 

 dung dieses Ej-eises liegen. 



M Wo r den Periodenqvotient und x den Legendre'schen Integvalmodul bedeutet. 

 ^) Vgl. Dyck, Gruppentheoretische Studien, Math. Ann. Bd 20 (1882). 



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