22 Severin Johansson. 



Zwischen dem Parzellnetze und unserei- Fläche '/' i'k) lässt sich nun eine ein- 

 deutig umkehrbare Beziehung herstellen. 



Pflanzen wir, um die Korrespondenz zu gewinnen, rein formal vermöge der Na- 

 mengleichheit, indem wir symbolisch A„ = Ay. setzen, unsere aus den Substitutionen Ay. 

 aufgebauten Umkreisungssubstitutionen in die Parzellteilung aus. Sogleich besagt dann 

 die Parzellenkonfiguration, dass diejenigen Umläufe, die sich auf '/> (Zv) schliessen, auch 

 in der Paizellteilung geschlossene Wege markiren. Umgekehrt lässt sich aber jeder 

 geschlossene Umlauf in der Parzellteilung in bekannter Weise in „Schleifen" zerspalten, 

 wobei eine Schleife der Hauptsache nach auf einen Umlauf um irgend einen Eckpunkt 

 herauskommt. Jede solche Schleife markirt einen geschlossenen Weg auf <J>{k]. und es 

 erhellt, dass jedem in sich zurückkehrenden Wege in der Parzellteilung ein ebenfalls 

 geschlossener Weg auf </» Çk) entspricht. 



Aus diesen Tatsachen ist nun zu schliessen, dass die durch die obige Auspflan- 

 zung hergestellte formale Beziehung zwischen <l> (k) und dem Einheitskreise eine ein-ein- 

 deutige ist. Die Mannigfaltigkeit aller offenen Wege auf '/' (ä:) bildet also eine mit der 

 fuchs'schen Gruppe holoedrisch isomorphe Gruppe '). Die Konfiguration der Blätter 

 von (P (k) ist genau gleich der Parzellenkonfiguration in dem Einheitskreise. Die bei- 

 den Bilder sind gruppentheoretisch als aeqvivalent anzusehen. 



Vermöge der obigen bis jetzt nur formalen Beziehung der beiden Bilder lässt sich 

 nunmehr ein jedenfalls nur im Sinne der Analysis situs zu verstehendes Abbildungsver- 

 hältnis zwischen denselben herstellen. 



Denken wir uns deshalb «^ (k) über die Riemannsche .e-Kugel ausgebreitet und 

 schneiden wir eine Parzelle aus dem Einheitskreise aus. Die Parzelle breiten wir durch 

 stetige Biegung und Dehnung auf das entsprechende Blatt von (k) aus, wobei wir 

 dafür Sorge tragen, dass die Fixpunkte in zugehörige Windungspunkte hineinfallen. 

 Zwischen dem Blatte und der Pai'zelle wird dadmxh eine Punkt für Punkt stetige Bezie- 

 hung hergestellt. Falls wir nunmehr in Bezug auf die fuchs'sche Gruppe aeqvivalenten 

 Punkten übereinanderliegende Punkte in den zugehörigen Blättern von </» {kj zuordnen, 

 so ist hiermit eine stetige Abbildung zwischen dem ganzen Parzellnetze und der Fläche 

 '1> (k) hergestellt. Bei dieser Abbildung gehen geschlossene Kurven des Parzellnetzes 

 immer wieder in geschlossene Kurven auf <J> (k) über. 



Wir nennen das Parzellnetz C (ki, h, . . ., k„_^^) = C{k). Zwischen C (ä:) und 

 </> [k) besteht also Punkt für Punkt eine ein-eindeutige stetige Beziehung '). 



35. Um den Mittelpunkt von C (k) herum schlagen wir nunmehr einen Kreis 

 mit dem Radius q und lassen q alle Werte 1 > ^ > stetig durchwandern. Durch 

 jeden Punkt von G [k] mit Ausnahme des Punktes Null geht ein und nur ein Kreis 

 der hiermit definirten Kreisschar, und jeder Punkt liegt schliesslich innerhalb eines der- 



') Vgl. S. -9. 



2) Diese Abbildung lässt sich auch so gewinnen, dass wir zum Netze C(k) die zugehörige einwer- 

 tige fuchs'sche Funktion z(ri) erldären. Diese Funktion breitet C (k) auf eine Riemannsche Fläche über die 

 2-Ebene aus. Diese Fläche aber ist durch stetige Wanderung der Windungspunkte in >P {k) überführbar. 



Tom. XXXIII. 



