über die Uniformisirung Riemannscher Flächen. 23 



ai'tigen Kreises. Diejenigen Stellen, wo k-^ endlich ist, spielen dabei keine singulare 

 Rolle, während diejenigen Stellen, füi' die k,, = «^ ist, ausserhalb sämtlicher Kreise der 

 Kreisschar liegen. Unter diesen Kreisen lassen sich unendlich viele K^, K2, . . . der 

 Art festlegen, dass ^„_,_, den Kreis E^ einschliesst, dass kein K^ durch einen Eckpunkt 

 oder durch einen mit dem Mittelpunkte von C (k) aeqvivalenten Punkt geht und dass 

 l[mK,=-C{k) ist. 



Ist die Beziehung zwischen C (k) und '[> {k) so spezifizirt, dass der Mittelpunkt 

 von C(k) und der Punkt auf (f> (k) einander entsprechen, so wird durch die obige 

 Kreisschar eine analoge Schar knotenfreier Kurven auf '/> (k) festgelegt, die den Punkt 

 umschliessen. Durch jeden Punkt von </> (k), exclusive 0, geht eine und nur eine der- 

 artige Kur\ e, und jeder Punkt gehört schliesslich dem Inneren einer solchen Kurve ^). 

 Die Windungspunkte endlicher Multiplizität sind dabei als vollkommen reguläre Stellen 

 anzusehen, während die Windungspunkte mit ky, = co ausserhalb sämtlicher Kurven liegen. 



Innerhalb dieser unendlichen Kurvenschar seien die den Kreisen K^ entsprechen- 

 den Kurven Ci, C2, ■ ■ ■ Die C, sind also der Beschaffenheit, dass C'„ von C. + i um- 

 schlossen wü"d und dass jeder Punkt für hinreichend hohen Wert von r innerhalb C^ 

 liegen wird ; die Punkte mit k>, = 00 liegen ausserhalb sämtlicher Kurven C„ . Die 

 Kurven C^ gehen überdies durch keinen Windungspunkt und dui'ch keinen der Punkte 

 0, 0, , . . . 



36. C„ umschliesst wie jede geschlossene Kurve auf '/» (ä:) ein einfach zusam- 

 menhängendes Gebiet. Innerhalb dieses Gebietes liegt der Punkt 0. 



Zu diesem einfach zusammenhängenden Gebiete sei u, die Greensche Funktion, 

 die also längs C\ verschwindet und innerhalb C„ in allen Punkten mit Ausnahme eines 

 kritischen Punktes harmonisch ist ; in der Umgebung des kritischen Punktes ist m„ + log r, 

 wo r den Abstand vom kritischen Punkte bedeutet, harmonisch. Als den kritischen 

 Punkt wählen wii' den Punkt 0. 



37. Das Potential 



ist überall innerhalb C'„ regulär und auf der Berandung positiv. Also ist für- alle Stel- 

 len innerhalb C'„ und für alle positiven Werte von ;/ 



oder 



Das Potential ") 



"v + ;,-".>0 





ü(k)-u^ 



ist für alle Punkte innerhalb (', regulär oder logaritmisch singulär, während es längs 

 C„ positiv ist. Folglich können wh- schliessen, dass füi- alle Punkte innerhalb C^ 



M Vgl. P01NCARÉ Bull, de la Soc. Math, de France, T. XI (1881). 

 2) Vgl. S. 21. 



N;o 



