24 Severin Johansson. 



V {li^ - n^ > O 



oder 



C/(/r,)>«„. 



Nun umschliesst aber C„ + ,, immer C„, und wir können den Schluss ziehen, dass 

 füi' alle Stellen innerhalb C, 



für alle Werte von f<. 



38. Wählen wir nunmehr auf f/>(Ä:) ein beliebiges Gebiet G, so können wir 

 immer v so gross wählen, dass G von C„ umschlossen wird. Dann ist aber für alle 

 Stellen dieses Gebietes G 



für alle Werte von fi. 



Falls aber ein positives harmonisches Potential u„ für alle Werte n>m für je- 

 den Punkt eines Gebietes mit wachsendem n zuwächst, und falls lim u„ für einen ein- 



zigen inneren Punkt des Gebietes existirt, so lehrt das Harnack'sche Prinzip ^), dass 

 u„ für alle inneren Punkte des Gebietes konvergirt und dass lim u„ ein harmonisches 

 Potential ist. 



Nach diesem Prinzip existirt also lim u^ und ist für G ein harmonisches Po- 



(1=00 



tential. Falls der Punkt o dem Gebiete G angehört, ist dieser Punkt auszuschliessen ; 

 daselbst hat lim Ug einen kritischen Punkt. Die Punkte o', o", . . . dagegen spielen 



Q=CC 



keine besondere Rolle. 



Allgemein lässt sich schliessen, dass 



u = lim M 



für alle Punkte von (k) existirt und ein harmonisches Potential auf </> (k) darstellt. 

 Der einzige singulare Punkt ist der Punkt o. 



Das hiermit vollständig definirte Potential u ist ersichtlich für alle Stellen auf 

 d» (k) positiv. Die Funktion 



ist also überall auf tf' (k) kleiner als 1. 



39. Nach dem Harnack'schen Prinzip konvergirt die Reihe 

 M = Ml + (î<2 — Ml) + ("3 — «2) + • • 



') Vgl. Harnack, Logarithmisches Potential. Leipzig 1887, p. 167. 



Tom. XXXni. 



