üher die Uniformisirung Riemannscher Flächen. 25 



gleichmässig. Dasselbe gilt dann auch von den Reihen 



du ôîi^ fdu2 diiA fdii^ àii2\ 

 dx^ dx \dx öx j \dx dx) 



und 



du _du^ (du2 duA IdUf àn2\. 



Zu u und M„ bilden wir die konjugirten Potentiale 



c (au , dîi , \ 







(■^0 . yo) 



Aus dieser Definition und den obigen Formeln geht hervor, dass 



lim V = V 



V 

 V = 00 



und dass die Reihe für v 



V=V^-\- (1-2 - ^i) -\-{Vi-V2) + ... 



gleichmässig konvergirt. 



40. Nach diesen Vorbereitungen setzen wir 



ri(z) = e-'" + "'^ 



und behaupten, dass die so gewonnene analytische Funktion iq (z) eindeutig und ein- 

 ivertig auf (k) ist und diese Fläche auf das Innere des EinheitsJcreises abbildet. 



Was zuerst die Eindeutigkeit betrifft, so ist zu zeigen, dass i^ (^) bei aUen ge- 

 schlossenen Umläufen auf (k) in sich übergeht. Beim Durchlaufen einer derartigen 

 Km've kann nun v um Multipeln von 2 st sich verändern. Diese Veränderungen aber 

 können keinen neuen r^-Wert veranlassen. Also: 



1] {/) ist eindeutig auf {k). 



41. Um nachzuzeigen, dass 7; (^) auch einwertig auf (k) ist, wird von Nöten 

 sein, in die Untersuchung die Funktionen 



mit hineinzuziehen. 



Weil u^ gegen u und v^ gegen v gleichmässig konvergiren, so konvergirt i/„ (^) 

 gleichmässig gegen tj (s), d. h. 



lim ^, = »?. 



W =00 



N:o 7. 4 



