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Severin Johansson. 



Angenommen nun, es nähme rj (^) in zwei verschiedenen Punkten von (k) den- 

 selben Wert a an. G sei ein G-ebiet, welches diese beiden Punkte einschliesst und 

 übrigens so gewählt ist, dass tj (s) nirgends sonst innerhalb G oder auf dessen Beran- 

 dung S den Wert a aufweist, l sei so gross, dass für v > l das Gebiet G von C„ 

 umschlossen wird. 



Auf S ist also 



WO m eine positive Konstante ist. 



vq > l wählen wir weiter so gross, dass für v ^ i-o 



fiir alle Punkte von 8. Wir schreiben so 



%- a^iVy- V) + iv - a) = iV - «) 

 Nun ist auf S 



ri~a 

 woraus erhallt: 



1+; 



1:0 1]^ iß) nimmt af S nirgends den Wert a an. 



2:0 Wenn s einmal S in positiver Richtung durchläuft, so nimmt 



arg 



1 + 



%-n 



den Ausgangs wert wieder an. 

 Weil nun 



arg {% -a) = arg (»/ - a) + arg 



1 + 



^^ 



so folgt, dass wenn z die Kurve S beschreibt, der Zuwachs von arg {ri^ — a) gleich 



demjenigen von arg {yi — a) ist; das aber besagt, dass {r]^ — a) innerhalb 8 zweimal 



verschwindet, was in Betracht der Einwertigkeit der Funktion rj^ {s) unmöglich ist. 

 Also: 



> 



v] {2) ist auf 0{k^, kz, . . ., k„ + 1) einwertig. 



42. Die Funktion vj {£) bildet (k) auf ein einfach zusammenhängendes Ge- 

 biet H (k) der i^-Ebene ab ^). Zufolge der Ungleichung 



e <1 



hat dieses Gebiet keine ausserhalb des Einheitskreises liegenden Punkte. Wir wollen 

 zeigen, dass es grade mit dem Einheitskreise zusammenfällt. 



Die Kurven C„ auf (k) werden auf ebenfalls geschlossene Kurven j'^ innerhalb 

 E.{k) abgebildet; die Kurve y^ wird von j-^^^ umschlossen. 



Va-l. S. 12. 



Tom. XXXni. 



