über die Uniformisirung Riemannscher Flächen. 27 



Das Potential m, geht in ein ebenfalls harmonisches Potential über, das längs 

 y^ verschwindet und im Punkte r/ = unstetig wird; nennen wir dieses Potential wie- 

 derum M„. Für alle Stellen von R{k) ist lim m„ = m = — logl^jj, wo | ij | ja der Ab- 

 stand vom Nullpunkte ist. 



43. Q^ sei nunmehr der kleinste Wert von \'ri{z)\ längs C„. Nach den obigen 

 Angaben ist 



Ein mit dem Radius q^ innerhalb H {k) um den Nullpunkt geschlagener Kreis wird von y^ 

 berührt, während die Kurven j' (_« = 1, 2,...) diesen Kreis, ohne zu berühren, voll- 

 ständig umschliessen. 



Die Grössen q^ haben eine obere Grenze 



lim Q^ = Q, 



die sicher nicht grösser als 1 ist. Falls es uns nun gelingt zu zeigen, dass q gerade 

 gleich Eins ist, so ist damit ja auch bewiesen, dass H {k) mit dem Einheitski'eise zu- 

 sammenfällt. Dass abei- q ^=1 ist, lässt sich folgendermassen darstellen. 



Sei i'.^ einer der Berührungspunkte von q^ mit y^, z. B. derjenige mit dem 

 kleinsten Argumentenwert. Die Punkte «, bilden eine isoltrte Menge, deren Häufungs- 

 stellen auf der Peripherie des mit dem Radius q um den Mittelpunkt geschlagenen Kreises 

 liegen. Eine dieser Häufungsstellen sei a; a,^, «,,,... seien Punkte «^ der Art, dass 



lim a,j. = a. 



Der Punkt « kann innerhalb keiner Kurve y^ liegen; denn in jeder Nähe von a liegen 

 Punkte der Kui'ven y^ , während innerhalb y^ keine Punkte der Kurven 



K + Ji' = '^, 2,...) 

 vorkommen. 



44. Zum Punkte « adjungiren wir zwei beliebige ausserhalb des Einheitskreises 

 liegende Punkte ß und ;-. Nach unseren Überlegungen über den Spezialfall >2 = 2 zum 

 fuchs'schen Falle existirt eine Funktion, die die Fläche (oo, oo, oo) mit Windungs- 

 punkten in «, ß und y auf das schlichte Innere des Einheitskreises abbildet. Diese 

 Funktion, die wir nun (um Zweideutigkeit zu vermeiden) s nennen, hat für alle Werte 

 von •)} Werte, deren Moduln kleiner als Eins sind. Falls wir uns den Punkten et, ß 

 oder y nähern, so nähert sich | s j dem Werte Eins. 



Das Potential ^) 

 w = - log I s I 



>) Vgl. Osgood, Trans, of the amer. math. soc. Vol. 1 N:o 3, pp. 310— 3U (1900). 

 N:o 7. 



