28 Severin Johansson. 



ist also für alle T^-Werte positiv und hat, wenn wir den Nullpunkt von s in den Punkt 



7; = von H (k) verlegen, seinen kiitischen Punkt in diesem Punkte. Also ist für alle 



Werte von r 



o) > u^ 



und somit auch 



45. Die Werte von w in den Punkten «,,, a,^, . . . streben ersichtlich dem 

 Werte Null zu. Dasselbe gilt dann auch von denjenigen Werten, die u in diesen 

 Punkten annimmt. Das besagt aber, dass die Werte von ] ^ | in diesen Punkten gegen 

 Eins zunehmen, was nicht möglich ist falls nicht « der Peripherie des Einheitskreises 

 angehört. 



Hiermit ist also bewiesen dass q =1 ist. H (k) deckt sich folglich mit dem 

 Einheitskreise, und der an der Seite 20 gestellte fundamentale Satz ist in seiner ganzen 

 Ausdehnung vollständig bewiesen. 



Folgerungen. 



46. Nun ist ja die Aufgabe, (P (k) auf das schlichte Innere des Einheitski-eises 

 abzubilden, lösbar füi- drei Windungspunkte, falls die zugehörigen Zahlen k,, die Un- 

 gleichung 



Ic,^k.,^k,^ 



befriedigen. Also können wir mit Hilfe unseres Fundamentalsatzes den folgenden Schluss 

 ziehen : 



Falls unter den Zahlen k„. drei A',-,, k,-^, A,,, vorkommen, die der Ungleichung 



'1 "! IJ 



genügen, so giebt es eine Funktion 7j{^; k^, k,, . . .,k„^i), die die Fläche 

 0{ki, A'o, . . ., A;„ + i) auf das schlichte Innere des Einheitskreises abbildet. Diese 

 Funktion ist eine polymorphe Funktion, die die geeignet zerschnittene z-Ebene auf 

 ein Grenzkreispolygon der Signatur (0; n+\; k^, k2,...,k„ + i) abbildet, wobei die 

 Punkte a„ die festen Ecken des Polygons liefern, z {rj) ist also eine fuchs' sehe Funk- 

 tion von Tj. 



Unter dieser Voraussetzung über die Zahlen A,, sind somit alle unsere Frage- 

 stellungen an den Seiten 16 — 20 vollständig erledigt. 



47. Dieser Satz umfasst die Möglichkeit ki = k2^= . . . = k„^i = oo. Dann 

 liegen aber die Punkte a^ ausserhalb sämtlicher Kurven C„ und ihre Bildpunkte in der 

 r;-Ebene somit auf der Berandung des Einheitskreises, z (i]) nimmt also in keinem 

 Punkte des Inneren dieses Kreises die Werte a„ an, was wir ja bekanntlich dadurch 



Tom. XXXIII. 



