über die Unifonnmnmy Rieinanmcher Flächen. 29 



ausdrücken, dass wir sagen: 2 (r^) lässt die Werte a-^ aus. Durch unseren Satz ist also 

 nachgewiesen, dass es eine fuclis'sche Funktion giebt, die (w + 1) beliebig vorgelegte 

 Werte auslässt. 



48. Neuerdings hat Herr Fricke den Kontinuitätsbeweis für den Fall p — O, n = 3 

 vollständig durchgeführt '). Seine Untei'suchung besagt, dass die Fläche (Je) mit vier 

 Windungspunkten immer auf den Einheitskreis sich abbilden lässt; selbstverständlich ist 

 dabei die nicht zum fuchs"schen Falle hörende Möglichkeit A'i = k-i — A3 = A'^ = 2 aus- 

 geschlossen. 



Mit Hilfe unseres Fundamentalsatzes können wir nun den Schluss ziehen, dass 

 diese Abbildung für alle Werte von w > 3 ausführbar ist, falls nicht alle Zahlen A,, 

 gleich 2 sind. Wir bekommen also den Satz: 



Im fucJis^schen Falle ist es, ivenn nicht alle Zahlen k.^ gleich 2 sind, immer 

 möglich, die Fläche <!> {ky, k-,,..., A;„^,) auf das schlichte Innere des Einheits- 

 kreises abzubilden. Die abbildende Funktion ri{z; A;,, A"^, . . ., A:„ + ,) ist eine poly- 

 morphe Funktion, die die geeignet zerschnittene z-Ebene auf ein Grenzkreispolygon 

 der Signatur (0 ; n-j- 1; ki, A;, , . . . , A;„ + ,) abbildet, ivobei die Punkte a^ die festen 

 Ecken des Polygons liefern, z {rj) ist eine fuchs' sehe Funktion von r/. 



Den fuchs'schen Fall schliessen wir hiermit ab. 



Eindeutigkeitstheorem. 



Falls wir schliesslich unsere Ergebnisse zusammenfassen, können wir zur Beant- 

 wortung des im Anfange formulirten Prohlems das folgende Theorem aufstellen: 



Ist F das Symbol einer in {n + 1) beliebigen Punkten «x (z = 1, 2, . . ., w + 1) 

 beliebig verzweigten endlich- oder unendlich-blättrigen Riematinschen Fläche und ist 

 A'x die kleinste Zahl, die angiebt, nach wie vielen Umläufen um o-x sämtliche Blätter 

 von F in sich zurückkehren, so giebt es, wenn bei « > 3 nicht alle Zahlen ky, gleich 

 2 sind, stets eine Funktion ij^=i^[z\ A;, , fc, . . ., A;„ + ,), die so beschaffen ist, dass alle 

 auf F unverzweigten Funktionen in ri eindeutig sind. 



Nun ist t]{z; A;,, k-,,..., k„^^ eine eindeutige Funktion von 



n (■^; ''1 h, ''-2 k, . . ., r„ + i A;„_,.i). 



Die Zahlen i-x können aber sicher so gewählt werden, dass nicht alle Zahlen v.^ k^ gleich 

 2 sind. Also: 



Es giebt stets eine Funktion rj = >; (z), die so beschaffen ist, dass alle auf F 

 unverzweigten Funktionen in i] eindeutig sind. 



») Math. Ann. Bd 59 p. 497 ff. 



N:o 7. 



