6 Hj. Tallqvist. 



P^. (cos e) = sin"' 9 Plf (cos 6) . 



Die jetzt vorliegende Sammlung von Tafeln, bei deren Berechnung wieder mein Vater mir 

 einen wesentlichen Beistand geleistet hat, umfasst alle diese Functionen bis inclusive n = 8 

 und mit denselben Intervallen des Argumentes wie in den früheren Tafeln. 



Die zugeordneten Kugelfunctionen P„j{x) wurden durch Multiplikation der früher berech- 

 neten abgeleiteten KugelfLuictionen P'/' {x) mit dem Factor (1 — x'^yi-' erhalten. Wenn j eine 

 gerade Zahl ist, so ist die Function P„.(a;) eine ganze rationale Function von der w:ten Ord- 

 nung; weil sie ferner im Nenner nur eine Potenz von 2 enthält, so lässt sie sich durch einen 

 endlichen Decimalbruch ausdrücken; die Tafeln enthalten in der Tat die genauen Werte dieser 

 Functionen. Die Rechnung ist durch Bildung der constanten w:ten Differenz controlirt worden. 

 Diejenigen Functionen P^^j{x), in welchen j ungerade ist, lassen sich im allgemeinen nicht 

 durch endliche Decimalbrüche ausdrücken; auch beschränken sich die Werte in den Tafeln 

 auf 10 oder 11 geltende Ziffern. Die Rechnung ist mit wenigstens 12 oder 13 Ziffern aus- 

 geführt worden, so dass die letzte angeführte Ziffer noch richtig ist. Die Functionen P^. {x) , 

 für j ungerade, sind auf folgende Weise controlirt worden. Für j = 1 ist die Rechnung unab- 

 hängig von zwei Personen bewerkstelligt ; für j = 3 führte man ausser der directen Berechnung 



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durch Multiplikation der abgeleiteten Function P"'{x) mit (\.—x^)-2 eine zweite Berechnung 



so aus, dass man zuerst (1 — ,x'2)P/" (.x) bildete, durch die constante w — l:ste Difterenz contro- 



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 lirte und nachher mit (1— x'''^)2 multiplicirte; für j = 5 und j = 7 berechnete man auf ähnliche 



Weise zwexai {l — x^f P^^^ {x) und {\ — x'^f Pl^\x) ^ controhrte diese Ausdrücke durch Differen- 



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zen und multiplicirte sie nachher mit (1— .r^)^ und (1 — a;2)2 bez. 



Die Genauigkeit des Druckes ist bei den Functionen P^. (x) für j gerade durch eine noch- 

 malige Differenzenbildung mit Zugrundelegung des letzten Correcturbogens, für j ungerade 

 durch Berechnung der Summen von je fünf auf einander folgenden Zahlen controlirt worden. 



Ein der Functionsbezeichnung P„,(:x) beigefügter Stern in den Tafehi bezeichnet, dass die 

 betreffende Function eine ungerade Function von x ist; dies trifft ein für n —j ungerade. 

 Einem geraden Werte von n~j entspricht eine gerade Function. 



Für die Functionen P*/'(a;) gilt die Recursionsformel 



pi::^;'{x)={2j+i)Pi'>{x)+2xPi'+'' (^)-pp:V' (^o, 



und somit für die Functionen P,ijix) die Formel 



^„ + ,,, + 1 {x) = {2j+l) Vl-x^ P„j{x) + 2xP„j^,{ai)-P^_^.^^{x) . 



Der Berechnung der abgeleiteten Kugelfunctionen P'/' (cos 0) sind die folgenden nach den 

 Cosinus der Vielfache des Winkels entwickelten Ausdrücke zu Grunde gelegt. 



P,'(cose) = l. 



Pg' (cos 0) = 3 cos , 

 P2"(cose) = 3. 



T. XXXIII. 



