Note supplémentaire sur les polygones au plus petit périmètre 



circonscrits à une ellipse. 



1. 



Dans un article récemment publié sur les polygones au plus petit périmètre circon- 

 scrits à une ellipse S j'ai fait voir, en particulier, qu'en prenant la moitié du grand axe pour 

 unité de longueur, le plus petit périmètre du triangle circonscrit est lié à l'excentricité e par 

 une équation du quatrième degré en p'^ de la forme 



ijs _ 12 (2 - e^)p^ — 6 [13 (1 — e2) - 8 e*]^* — 8 (10 — 15 e^ + 21 e* — 8 c«) p^ 



(1) 



— 27 (1 — e'f = 0. 



Sans entrer dans aucune analyse de cette équation, j'y ai montré, par d'autres considérations, 

 qu'à chaque valeur de l'excentricité correspond une seule valeur du périmètre minimum, la 

 position du triangle étant d'ailleurs indéterminée et pouvant varier d'une infinité de manières. 

 Mais il n'est pas sans intérêt d'examiner l'équation (1) elle-même, afin de se rendre compte 

 de la nature de ses racines et voir s'il y en a quelqu'une qui soit étrangère à la question. 

 C'est ce que nous allons faire présentement. 



Comme nous l'avons fait observer dans notre premier article, l'équation (1) se réduit 

 pour les valeurs extrêmes de e, e = et e = 1 , respectivement à 



(^2 ^ 1)3 (^2 _ 27) = et i52 (pi _ 4)3 = , 



et donne ainsi, dans ces cas, les seules valeurs acceptables p"^ = 27 et p"^ = 4. Il s'agit 

 de savoir comment se comportent les racines de cette même équation lorsque e est comprise 

 entre G et 1. 



' Acta Societatis Scientiarum Fennicae, tom. XXXI, N:o 4. 

 N:o 5. 



