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Son dernier terme étant essentiellement négatif, on voit d'abord qu'elle admet toujours 

 deux racines réelles, l'une positive et l'autre négative. Pour reconnaître la nature des deux 

 autres, le plus simple est d'avoir recours aux formules 



(2) e^s* — 2e2s3_2(l — e2)s + l — e2 = 0, 



(3) (i>2 + 1) s3 — 3 (p^ + 1) s2 + 3i)2 s —p2 + 4 = 0, 



qui, par élimination de la variable auxiliaire s(- sin y), ont conduit à l'équation (1) (voir 

 page 10 de notre article). En résolvant la première de celles-ci, on obtiendra quatre valeurs 

 de s, lesquelles, substituées dans la seconde formule, donneront pour p^ également quatre va- 

 leurs, les racines de l'équation (1). Or, on voit à la seule inspection des signes de la formule 

 (2) qu'elle a, pour toute valeur de e comprise entre et 1, deux racines imaginaires. Quant 

 aux deux autres, elles sont positives, l'une d'elles étant plus petite et l'autre plus grande que 

 l'unité, puisque la valeur s = 1 ferait prendre au premier membre de cette formule une va- 

 leur négative (= — 1). Les deux valeurs imaginaires de s étant nécessairement conjuguées, 

 leur substitution dans la formule (3) conduira, en général, à deux valeurs également imaginai- 

 res et conjuguées de p'^. Seulement, il peut arriver, dans des cas particuliers, que la partie 

 purement imaginaire de celles-ci disparaît et qu'elles se réduisent par là à une racine réelle 

 double. Nous en concluons que l'équation (1) a toujours, pour < e < 1 , une paire de raci- 

 nes imaginaires, à moins qu'elle ne possède des racines doubles (ou multiples). 



La question se réduit ainsi à rechercher dans quel cas l'équation dont il s'agit peut 

 admettre une racine double. Si une telle racine existe, elle doit aussi satisfaire à l'équation 



1)6 — (18 - 9 e2)^* — (39 — 39 e2 — 24 e*)p^ 

 (4) 



— 20 + 30 e2 _ 42 e* + 16 e^ = 0, 



qu'on tire de l'équation (1) en la difîérentiant par rapport à p^. Il s'agit donc de trouver les 

 racines communes aux équations (1) et (4). On aurait pour cela à chercher le plus grand 

 commun diviseur des polynômes qui forment les premiers membres de ces deux équations. 

 Mais comme ce procédé, si on voulait le poursuivre jusqu'au bout, deviendrait excessivement 

 onéreux, nous le simplifierons notablement en n'effectuant que la première des divisions qu'il 

 exige, c'est à dire celle du polynôme (1) par (4). En égalant à zéro le reste de cette divi- 

 sion, on arrive à l'équation suivante du second degré en p'^: 



(49 — 49 e2 + e*) j3* + (98 — 147 e^ + 33 e* + 8 e^)p^ 

 (5) 



+ 49 — 98 e2 + 123 e* — 74 e" + 16 e» - 0. 



S'il y a une racine commune, elle doit satisfaire aussi à cette dernière équation. Il 

 ne reste donc qu'à résoudre celle-ci et de voir si l'une ou l'autre des valeurs de i?^ ainsi 

 obtenues est racine commune aux équations (1) et (4). A cet effet nous cherchons le discri- 



Toio. xxxu. 



