Polygones au plus petit périmètre circonscrits à une ellipse. 5 



minant du trinôme qui forme le premier membre de l'équation (5), et nous trouvons, après 

 quelques réductions, qu'il peut se mettre sous la forme 



(6) — 45 e* (l—e2) [343(1 — e2) + 88 e*]. 



Comme cette expression est négative pour toutes les valeurs de e dont il s'agit, nous en 

 concluons, premièrement, que l'équation (5) n'a pas de racine réelle et, en second lieu, que les 

 équations (1) et (4) ne possèdent pas de racine commune réelle. Et par là il est prouvé défi- 

 nitivement que l'équation (1) a toujours deux racines imaginaires, tant que e est comprise 

 entre et 1. 



Pour chacune des valeurs limites de l'excentricité, e = et e = 1 , le discriminant (6) 

 devient nul et l'équation (5) admet, par conséquent, deux valeurs égales de p^, à savoir 

 p"^ z= — ] dans le premier cas et ^j^ = 4 dans le second. Chacune de ces valeurs est une 

 racine double de l'équation (4) et une racine triple de l'équation (1). 



Comme les valeurs négatives et aussi la valeur de p^ sont évidemment inadmis- 

 sibles, nous sommes donc autorisé à conclure, comme résultat de la discussion précédente, 

 que l'équation (1) détermine en tout cas et sans ambiguïté la valeur de p"^ et par conséquent 

 aussi le plus petit périmètre 2p du triangle circonscrit. 



Ajoutons encore que la seule racine positive de cette équation est comprise entre 4 

 est 27. Cela résulte de ce que, en y substituant jj^ = 4 et p^ = 27 , son premier membre se 

 réduit, dans le premier cas à 



— (1 - e2) (2875 + 325 e^ + 256 e*) , 

 et dans le second à 



+ 27 e^ (10976 + 1 127 e« +- 64 e*), 



et qu'il change ainsi de signe lorsqu'on passe de l'une de ces substitions à l'autre. 



2. 



Nous allons montrer maintenant qu'il existe entre l'octogone et le tétragone au plus 

 petit périmètre circonscrits à une ellipse un rapport analogue à celui qui, dans les mêmes 

 conditions, relient l'hexagone au triangle. 



Parmi les tétragones circonscrits à l'elipse nous considérons cette fois le rhombe Pi 

 dont les diamètres coïncident avec les axes de l'elhpse, et nous désignons par U^ le tétragone 

 correspondant circonscrit au cercle -S" dont l'eUipse jEJ est la projection orthogonale. Comme 

 variable auxiliaire nous introduisons l'angle (f formé par un des côtés de ce second tétragone 

 avec le diamètre vertical du cercle (c'est à dire avec celui qui correspond au petit axe de 

 l'ellipse). Cela posé, on aura, en désignant par 2pi le périmètre du rhombe, 



Pi _ Vl — e^ cos y ^ 

 2 ~ sin y cos tf 



N:o 5. 



