6 L. LiNDELÖF. 



Pour le minimum de cette expression on trouve la condition 



1 — 2 cos (f'^ + e^ cos y* = 0, 



1 — ^1 — e2 

 ÜUÖ <f - -^ ^^ , 



d'oîi l'on tire 



qui donne . .^ 



1 7/l /)2 



cos </)^ 



^1 — e^ cos y2 = tg(f, 

 et par suite 



i^é 1 



'^ cos y^ 



Donc le périnièti'e entier 2iJ4 est bien égal à la double somme des deux axes de l'ellipse, 

 comme nous l'avions déjà annoncé dans notre article précédent. 



Si parmi les octogones circonscrits à l'ellipse on considère de même la figure sémiré- 

 gulière Pg dont deux côtés opposés sont parallèles au grand axe et deux autres au petit axe 

 de l'ellipse, et qu'on désigne, dans l'octogone correspondant //g circonscrit au cercle K^ par 

 if l'angle formé par un des côtés obliques avec le diamètre vertical du cercle, on obtient 

 d'abord pour le quart du périmètre de l'octogone Pg l'expression 



(7) 



2=tg2V^ —e'+tg 3"^+ [tg^ + ^O ^]V 1 - e^ cos .^.^ 



_ cos y sinyj/l- e^ 2 ]/ 1 — e^ cos, tp^ 

 ^"1 V^^^c. +" 



1 + sin y- 1 + cos 9) 1 + sin y + cos y ■ 

 En cherchant le minimum de cette expression et observant que 



(1 -h sin 9 + cos (pY = 2 (1 + sin ff) (1 + cos yj, 

 on trouve la condition 



(1 -f cos ^' — (1 + sin tf>) ]/! — e^) y'i — ë^ cos «^'^ = sin tf — cos y- + é^ cos y (1 + sin y). 



Or, cette équation peut se simplifier considérablement. Si l'on en élève les deux membres au 

 carré, les termes en e* se détruisent et le résultat, devenu divisible par 



2 (1 + sin (f) (1 + cos (f) Vï^'ë^ , 

 se réduit à 



j/ÎZrji - (1 —e^cosip^), 

 d'où l'on tire finalement 

 (8) 1 — 2 cos (f^ + c2 cos y* = 0. 



Cette équation étant identique à celle qu'on avait trouvée précédemment pour le rhombe, on 

 voit donc que y a la même valeur dans les deux cas, d'où l'on conclut que l'octogone au 

 périmètre minimum dont il s'agit, peut se déduire du rhombe, en découpant les quatre angles 

 de celui-ci par des tangentes à l'eUipse parallèles respectivement aux deux axes de celle-ci. 



Tom. XXXII. 



