Polygones au plus petit périmètre circonscrits à une ellipse. 7 



On peut d'ailleurs calculer directement le périmètre minimum 2ps de l'octogone cir- 

 conöcrit. A cet effet nous déduisons de l'éiiuation (S) 



1-/1 — 1 



cos (f = 



d'où 



cos (f^ = 



1 — e^ cos (f'^ = yi — e^ = tg (f"^ . 



Ces dernières valeurs étant substituées dans l'équation (7), elle devient, après quelques trans- 

 formations, 



Pj. _ _\. 2 sin y^ 



2 ~ COS (f'^ (1 + sin (f) (1 + cos (p) ' 



En désignant par 2a et 2b les deux axes le l'ellipse et observant que 



e2 = i— ^, yr^e-^^ 



.-,2' 



on trouve 



cos y^ = — i-^, sm y' = — p^. 



Jusqu'ici nous avions pris a pour unité de longueur. Pour nous débarrasser de cette hypo- 



Ps 



thèse, il faut remplacer pa par ^ , et nous obtenons ainsi finalement, pour le périmètre mini- 

 mum de l'octogone circonscrit, l'expression 



2iJs = 4 [a + 6 - 2 (VöT+h — Vä) (V~a + h - Vb)] . 



N'oublions pas que ce résultat, bien que déduit pour un cas particulier, a lieu quelle 

 que soit la position de l'octogone. Pour e = 0, ou b = a, il se réduit à 16 a (/2 — 1), ce qui 

 est bien le périmètre d'un octogone régulier circonscrit à un cercle du rayon a. 



3. 



Les résultats auxquels nous sommes ainsi parvenu, en comparant d'une part l'hexa- 

 gone avec le triangle et de l'autre l'octogone avec le rhombe, peuvent être présentés sous une 

 autre forme, qui fait encore mieux ressortir leur analogie mutuelle. 



Considérant toujours des polygones au périmètre minimum, nous avons montré, en 

 effet, que dans un hexagone dont les deux bases opposées sont parallèles au grand axe de 

 l'ellipse, deux des côtés obliques coïncident avec les côtés du triangle isocèle dont la base est 

 également parallèle au grand axe. Donc, si l'on construit un autre triangle symétrique à 



N:o 5. 



