Tafeln der Kiigelfundioncn P^ (x) und ihrer abgeleiteten Functionen. 



,u), X 10395, 



P^' (.x) =±il^(65a3*- 26x2 + 1) ^ 



j)(5), . 135135 , 



^s ix) = — ^5 — (o x^-x), 



P^'\x) = ^-^^{Vox'^-\), 

 Pg'" (a;) = 2027025 x , 



Pr' {x) = 2027025 . 



Diejenigen Functionen P^'^ {x) , für welche die Summe n -\-j eine gerade Zalil ist, sind 

 gerade Functionen, diejenigen, für welclie n-{-j ungerade ist, ungerade Functionen ihres Argu- 

 mentes. Die Werte der Functionen P^'" (x) innerhalb des Intervalles von x = — \ bis x = 

 ergeben sich deshalb unmittelbar aus den tabulirten Werten. Der Bequemlichkeit wegen ist 

 durch ein * angedeutet worden, dass die betreffende Function ungerade ist. 



Da sämmtliche Functionen Pf {x) im Nenner nur Potenzen von 2 enthalten, so lassen sie 

 sich mit Hülfe endlicher Decimalbrüche ausdrücken; die Tafeln liefern in der That die genauen 

 Werte dieser Functionen. Früher bekannt sind die Werte der Functionen P„(x) für n=\, 

 2, 3"-7*); wegen des Zusammenhanges sind sie aber hier wieder angeführt worden. Aus 

 Pg (x) und Pj (.r) wurden die Werte von P» (x) mit Hülfe der Recursionsformel 



in + 1) P„ + , (x) = (2n + 1) X P„ (x) ~nP^_, (x) , 

 d. h. hier 



8 Pg (x) =VoxP, (x) - 7 Pe (x) 



berechnet. Alle abgeleiteten Functionen P^f^x), wo also^'>l ist, sind neu berechnet worden. 



Die Function P^'" (x) besitzt, da sie eine ganze rationale Function von der n —j:ien 

 Ordnung ist, eine constante Differenz von der Ordnung n—j. Hierdurch erhält man eine 

 absolute Contrôle der Rechnungen. Um die Genauigkeit des Druckes möglichst sicherzustellen 

 ist diese Contrôle noch ein Mal im letzten Correcturbogen vorgenommen worden. 



Es verdient noch angeführt zu werden, dass die nachstehenden Tabellen als ein Neben- 

 product bei der Berechnung einiger umfassenderer, aber auf eine bestimmte Stellenzahl abge- 

 rundeter Tabellen hervorgegangen sind. **) Auf die grosse Bedeutung der Functionen P„ (.r) in 

 mehreren Zweigen der höheren Mathematik und insbesondere der mathematischen Physik 

 braucht hier nicht hingewiesen zu werden. Auch die Functionen P^'''' (;c) fûr^'>l sind wichtig, 

 da sie in den Ausdrücken der Kugelfunctionen von zwei Veränderlichen vorkommen. 



*) Report of the Britisch Association for the advancement of science, 1879, p. 49. 

 **) Eine im Druck befindliche Arbeit des Verfassers, betitelt: Grunderna af teorin för sferiska funlitioner 

 etc., wird umfassende vierstellige Tafeln der sphärischen Functionen enthalten; auch sechsstellige für eine 

 besondere Ausgabe beabsichtigte Tafeln liegen zum grossen Teil fertig berechnet vor. 



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