Hj. Mellin. 



Betrachtet man nun das folgende, über eine solche Function erstreckte 

 Integral 



(l) 0{x) — -^ \ F(u)x-" 



du. 



dessen Integrationsweg u = a eine unbegrenzte, im Parallelstreifen (a^ <,u <^ a^ 

 gelegene gerade Linie ist, so zeigt sich, dass dasselbe — unter d eine unend- 

 lich kleine positive Grösse verstanden — in dem durch die Bedingung 



definirten Bereiche der Variabein a: = | x j e'* nicht nur einen bestimmten Sinn 

 hat, sondern auch eine gewisse monogene, daselbst überall (die Punkte x= o 

 und x= <X! ausgenommen) regulär sich verhaltende Function von x darstellt. 

 Ist speciell ^> 2n, so wird offenbar der durch — %^ -\- ö <.9^-\- ^ - ö cha- 

 rakterisirte Bereich durch eine die ganze x-Ebene zwei- oder vielfach be- 

 deckende Fläche geometrisch dargestellt, in welcher x — o und a; = oo die einzi- 

 gen singulären Stellen (Windungspunkte) sind. 



Eine besonders wichtige Eigenschaft der so erzeugten Function (p (x) giebt 

 der folgende Satz an: Bezeichiiet k eine beliebige, die Bedingung ax<k<a2 

 erfüllende Zahl, so nähert sich das Product x'' (x), sowohl bei Annäherung 

 von X an die Stelle x = o wie auch bei Annäherung von x an die Stelle x = oo , 

 der Grenze Null. 



Diese Ergebnisse lassen sich folgenderweise umkehren. 



Von irgend einer Function (x) nehme man an, dass sie sich in der 

 Umgebung jeder Stelle (die Punkte x = o und x = œ ausgenommen) im Inneren 

 und auf der Begrenzung des durch die Ungleichheiten 



charakterisirten Bereiches von a; = \x\e^^ regulär verhält und die Eigenschaft 

 besitzt, dass das Product x^' {x), wofern k eine beliebige die Bedingung «j <^ 

 k <,a2 erfüllende Constante bedeutet, sowohl bei Annäherung von x an die 

 Stelle x — o wie auch bei Annäherung von x an die Stelle a; = co , gegen die 

 Null convergirt. Alsdann stellt das Integral 



00 



(2) F{u)^ Ç 0{x)x"~^(lx 







eine in dem Parallelstreifen {a^ -c u' < Ö2) überall regulär sich verhaltende Func- 

 tion von u = u' + i %i" dar, welche für unendhch grosse, diesem Streifen an- 

 gehörige Wertlie von k auf die Form gebracht werden kann 



