Zivei allgemeine Klassen bestimmter Integrale. 5 



\F{u)\^e-^\^"'x{u',xC'\ 



wo i für u" = + X , ai<.u' <a.2 endlicli ist. 



Mit Hülfe der so entstandenen Function i^(«) kann demnach wieder ein 

 Integral der Form (1) gebildet werden, wodurch eine Function (P (x) erzeugt 

 wii'd, mit deren Hülfe ferner ein Integral der Form (2) definirt werden kann, 

 etc. Durch dieses Verfahren gelangt man aber keineswegs von einer gewis- 

 sen Function F (xi) oder (x) zu verschiedenen Functionen F (w), und ebenso 

 wenig zu verschiedenen Functionen çZ> (u;). Bedeutet nämlich (P in (2) die durch 

 (1) definirte Function Ö>, so ist auch die durch (2) erzeugte Function F mit 

 der ursprünglichen, in (1) vorkommenden F identisch. Ebenso zeigt sich, wenn 

 in (2) den Ausgangspunkt bildet und F in (1) die durch (2) detinirte Func- 

 tion bedeutet, dass die durch (1) erzeugte Function (P mit der in (2) vorkom- 

 menden identisch ist. Demnach hat man die Formeln: 



00 a + iQO 



dx 



F{ti)^ Cx"-'^^ Ç F{v)x-"dü, 

 J 2sti J 



(x) = -^ \ X " du ( CP (?/)?/ " ^ dy. 



2sti J J 



0(X) = 



Die oben hervorgehobenen Beziehungen zwischen den beiden allgemeinen 

 Arten von Functionen (Z> (.<:) und F (u) vervollständigen, unter Anderem, nicht 

 unwesentlich den bekannten Zusammenhang zwischen den linearen Differen- 

 tial- und Ditferenzen-Grleichungen. Unter den Lösungen linearer Differen- 

 tialgleichungen finden sich bekannthch sehr häufig Functionen, welche die oben 

 besprochenen Eigenschaften von (x) besitzen, während die Eigenschaften von 

 F (_u) ebenso oft bei den Lösungen lineaier Differenzengleichungen vorkommen. 

 Die Formel (1) transformirt nun in der ïhat in zahlreichen Fällen die Lösung 

 F (il) einer linearen homogenen Differenzengleichung in eine Lösung (x) 

 einer hnearen homogenen Differentialgleichung, während die Formel (2) das 

 Umgekehrte leistet. Der zw^eite Abschnitt der oben citirten Arbeit enthält ge- 

 rade eine eingehende Untersuchung des Zusammenhanges, welche die Formeln 

 (1) und (2) speciell zwischen den linearen Differenzengleichungen erster Ord- 

 nung und den hypergeometrischen Differentialgleichungen beliebiger Ordnung 

 ' vermitteln. 



Die Ausdehnung der oben dargelegten Beziehungen auf Functionen meh- 

 rerer unabliängiger Veränderlichen bildet nun den Gregenstand des erden Ab- 

 schnittes der voz'liegenden Arbeit. 



