6 Hj. Mellin. 



Vom Gesichtspunkte dieser erweiterten Bezieliungen aus wird im siveüen 

 Absclinitte ein zwischen den Gammafimctionen zweier Variabein und den Lö- 

 sungen gewisser partieller linearer Differentialgleicluingen existirender Zusam- 

 menhang einer näheren Erörterung unterzogen. Die betreifenden Gleichungen 

 dürften partielle hypergeometrische Differentialgleichungen und ihre Lösungen 

 hypergeonietrische Functionen zweier Variabein genannt werden können. Ausser 

 der Darstellung solcher hjrpergeometrischen Functionen durch bestimmte, über 

 Gammafunctionen erstreckte Integrale verdient als ein Hauptergebniss des zwei- 

 ten Abschnittes hervorgehoben zu werden, dass die schon so grosse Menge 

 bestimmter, durch die Gammafunction ausdrückbarer Integrale daselbst noch 

 erheblich bereichert wird. 



Ich hoffe, dass die in § 9 sich darbietenden Gesichtspunkte auch für die 

 allgemeine Theorie der partiellen lienearen Differentialgleichungen, deren Coef- 

 ficienten rationale Functionen sind, nicht ganz ohne Bedeutung sein werden. 



•■ §2. 



Wir nehmen an, die monogene Function F (?/, v) verhalte sich regulär in 

 der Umgebung jeder endlichen Stelle im Inneren und auf der Begrenzung des 

 durch die Bedingungen 



(3) «1 ^ li < «2, ^1 ^ '^' ^ ^2 



definirten Bereiches des Systems der zivei unabhängigen Variabein u = u' + in", 

 V = v' + i v" und lasse sich für unendlich grosse, diesem Bereiche angehörige 

 Werthe u, v auf die Form bringen 



(4) I F{u, v) I = e-*' I "" I - ^' I "" I X (^l'', v, u", v"), 



WO Q'i und ■9'2 positive Constanten und i eine positive Variable bezeichnet, die 

 ivenigtens nach Midtiplication mit passenden Potensen von m" und v" für 

 tti ^ u' ^ 0-2, bi<v' < ?\, gegen die Null convergirt, wenn eine der Grössen u" und 

 v" oder beide gleichzeitig dem absoluten Betrage nach unbeschränkt ivachsen. 

 Setzt man 



X=\x\ e^^h y —\y\e^^ 



) 



so wird 



