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bezüglich F {ii, v) und auf Grund eines bekannten Satzes der Integrallehre ^) 

 monogene Functionen von x und y darstellen, so ist hiermit gezeigt, dass 

 das auf der rechten Seite von (6) stehende Integral in dem durch (5) charak- 

 terisirten Bereiche des Systems x, y nicht niu- einen bestimmten Sinn hat, son- 

 dern auch eine gewisse monogene, daselbst überall — die Werthe x = o, 

 x= CO , y = o, y = CO jedoch ausgeschlossen — regulär sich verhaltende Function 

 von X und y darstellt. 



In den einzelnen GUedern der Keihe (6) ist die Vertauschung der Reihen- 

 folge der Integrationen zulässig, weil die zu integrirende Function in dem Be- 

 reiche (3), wo die Integrationswege gelegen sind, sich überall regulär verhält. 

 Da die Reihe (6) ausserdem absolut convergirt, so ist sie auch von der Reihen- 

 folge der Summationen unabhängig. Sie ist also gleich der Reihe 



y y Ç x-'^du Ç F {u, v) y '"dv=: fa;-« du C F (ii, v) î/-" d v. 



/*=— œ V =—(X) a + ifl. b + iv o— ioo 4-100 



Hiermit ist zugleich erwiesen, dass das Integral 



a-h/oO 4 + /GO 



(^) 0{x,y) = -^ Ç -^ Ç F{ii,v)x'"'tj-''dtidv 



^ ^ 2Sti J 23tl J 



a — 100 6—100 



von der Reihenfolge der Integrationen unabhängig ist. 



Aus dem Obigen ergiebt sich überdies die Ungleichheit 



+ 00 +00 



(8) \0{x,y)\<\x\-''\y\-^— Ç— Ç e-^ I "" l -« I «" I z («, h ii", v") du" d v", 



2StJ 2SCj 



— 00 — 00 



welche bemerkenswerth ist, weil das Integral auf der rechten Seite von x und 

 y unabhängig ist. Auf diese Ungleichheit werden wir weiter unten zurück- 

 kommen. 



Jetzt wollen wir uns davon überzeugen, dass die Integrationswege u' = a 

 und v = b in den resp. Parallelstreifen {a, <, u' £ a.^ und (b, <,v' <: ö.,) beUebig 

 verschoben werden können, ohne dass das Integral (7) aufhört, eine und die- 

 selbe monogene Function darzustellen. 



Zu dem Ende denke man sich in dem Parallelstreifen («i^w'^aa) ein 

 Rechteck mit den Eckpunkten a + i m, a + i oj, dessen Seiten also den Coordi- 

 natenaxen parallel sind. Wird das Integral 



') Man siehe beispielsweise: Pincherle, Acta Matematica, Bd. 10. S. 154—155. 



