Ziroi allgemeine Klassen bestimmter Intef/rale. 9 



j F(ii,v)x—du 



e.' 



längs (1er Begrenzung dieses Rechtecks erstreckt, so ist sein Wertli gleich der 

 Null, weil sich die zu integrirende Function im Inneren und auf der Begren- 

 zung des Rechtecks regulär verhält. Andererseits ist das Integral gleich einer 

 Summe von vier Integralen, welche über die resp. Seiten des Rechtecks er- 

 streckt sind. Lässt man nun m ohne Ende wachsen, wobei sich die zur reellen 

 Axe parallelen Seiten ins Unendliche entfernen, so nähern sich die über diese 

 Seiten erstreckten Integrale vermöge der durch (4) ausgedrückten Eigenschaft 

 von F (ji, v) beide der Grenze Null, wodurch sich ergiebt 



«+»00 a'+ico 



du. 



j F(u, v) X-" du — 1 F{u, V) X-" 



Hiermit ist gezeigt, dass bei dem zweifachen integrale, das auf der rech- 

 ten Seite von ((3) vorkommt, der Weg der inneren Integration im Parallel- 

 streifen [a^ <, u' <, a^ beliebig verschoben werden kann, ohne dass sich der 

 Werth des Integrals dabei ändert. Da die Vertauschung der Reihenfolge der 

 Integrationen nach dem Früheren zulässig ist, so folgt weiter, dass der Werth 

 des Integi'als auch von der Lage des Integrationsweges v =^h im Streifen 

 (^1 ^ ^' ^ ^2) unabhängig ist, womit die Richtigkeit unserer Behauptung voll- 

 ständig erwiesen ist. 



Verbindet man nun das soeben Dargelegte mit der Ungleichheit (8), so er- 

 giebt sich daraus eine wichtige Eigenschaft der Function cp (;r, y). Lässt man 

 a und h unabhängig von einander alle möglichen Werthe in den resp. Inter- 

 vallen «1 < a ^ tta und bi<Çb^ K annehmen, so kann dass auf der rechten 

 Seite von (8) vorkommende Integral, zufolge unserer über F {11,1^ gemachten 

 Voraussetzungen, nicht über jede endliche Grenze wachsen, während die linke 

 Seite nach dem soeben Dargelegten unverändert bleibt. Unsere Function 

 fp (x, y) hefriedif/t also die henierkensn-erthe Ungleichheit 



(9) I0(x,2/)|<c'jx^''l.y^^ 



wo a und h beliebige, die resp. Bedingungen ai -^ a ^ «2 und b^^h ■^ &2 c*"" 

 füllende Zahlen sind, während C eine nicht nur von x und y sondern auch 

 von a und b unabhängige Constante bedeutet. 



Miiltiplicirt man die beiden Seiten von (9) mit \x\'' i y \''' und ersetzt auf 

 der rechten Seite a nach einander durch a^ und a~, und b durcli /', und h.j, su 



