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erhält man vier Ungleicliheiten, woraus sich der folgende Satz ergieht: Bezeich- 

 nen h und k beliebige, die resp. Ungleichheiten ay<h< «o ^'^cZ 6, <li< h> er- 

 füllende Constanten, so nimmt der Ausdruck | x'' y^ (Z> (;r, ?/) ' gleichmässig gegen 

 die Null ab, wenn eine der Variabein x und y dem absoluten Betrage nach 

 unbeschränkt ivüchst oder abnimmt, die andere mag dabei constant oder in ih- 

 rem Bereiche (5) beliebig veränderlich sein. 



In diesem § hat sich nun Folgendes ergeben. 



Bezeichnet F (u, v) eine Function, welche die am Anfange dieses § er- 

 wähnten Eigenschaften besitzt, sind zugleich u' = a und v = b zwei in den 

 resp. Parallelstreifen («i ^u <, a^ und (b^ <,v' ^ b^ gelegene gerade Linien, 

 sowie x = \x\e*'^' und y = \y\ e''^^ zwei durch die Bedingungen (5) beschränkte 

 Parameter, so ist das Integral (7) von der Eeihenfolge der Integrationen und 

 von der Lage der Integrationswege im übrigen unabhängig und stellt in dem 

 genannten Bereiche (5) eine monogene, daselbst überall (die Werthe x = o, 

 x= cc , y — o, y = cc jedoch ausgeschlossen) regulär sich verhaltende Function 

 von X und y dar. Ausserdem befriedigt das Integral die Ungleichheit (9), 

 wovon ]^der oben ausgesprochene Satz eine Folgerung war. 



§3. 



In diesem § werden wir zeigen, dass man auch mit Benutzung des Cauchy- 

 schen Integralsatzes zu der oben erörterten Function fp (a; y) von F («, v) ge- 

 langen kann. 



Bei den weiteren Untersuchungen werden wir das Ungleichheitszeichen der 

 Küi'ze hall)er in dem erweiterten Sinne gebrauchen, dass es sich auf die reellen 



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Theile der beiden Seiten der in Frage stehenden Ungleichheit bezieht. Ist A 

 eine Constante und u eine Variable, so bedeutet demnach die Ungleichheit 

 u < A, dass u auf eine Halbebene besclu'änkt ist, welche von einer zur imaginä- 

 ren Axe parallelen, durch den Punkt A hindurchgehenden geraden Linie be- 

 grenzt wird. Die Ungleichheiten A<u<B beschränken die Variable u auf 

 einen zur imaginären Axe parallelen Streifen, welche von zwei, durch die resp. 

 Punkte A und B hindurchgehenden geraden Linien begrenzt wird. 



In Betreff der Function F (u, v) machen wir dieselben Voraussetzungen 

 wie im vorigen §. Die Zahlen a^, «,» ^h, h haben daher auch die dort ange- 

 gebene Bedeutung. 



Ist p ein beliebiger Punkt im Inneren des Parallelstreifens («j ^ u <: «o), 

 so können wir die reelle Zahl co so gross annehmen, dass das Eechteck, dessen 

 Eckpunkten a, + / r.j, cu i * (■' sind, den Punkt 2^ ii^ seinem Inneren enthält. 



