Zwei allgemeine Klassen bestimmter Integrale. 11 



Ebenso sei q ein Punkt im Inneren des Streifens (i^ ^v'<, h^ und (<>' so gross, 

 dass q im Inneren des Rechtecks mit den Eckpunkten h^ + i w, b-, + ^ a»' ge- 

 legen ist. Nach dem CAucuYSchen Satze ist nun 



2Stl J U —p 



2ni J V— q 



wenn das erstere Integral üher die Begrenzung jenes und das letztere über die 

 Begrenzung dieses Rechtecks in positiver Richtung erstreckt wird. Bevor wir 

 das letztere Integral in das erstere substituiren, wodurch F (jh q) die Form 

 eines zweifachen Integrals annimmt, lassen wir n ohne Ende wachsen, wobei 

 sich die zur reellen Axe parallelen Seiten des Rechtecks [&i + i oj', b., + i o/] 

 ins Unendliche entfernen. Denken wir uns dabei das letztere Integral als eine 

 Summe von vier über die resp. Seiten des Rechtecks erstreckten Integralen, 

 so nähern sich die längs den zur reellen Axe parallelen Seiten genommenen 

 Integrale Avegen (4) beide der Grenze Null, während die beiden anderen eben- 

 falls gegen gewisse endliche Clrenzwerthe convergiren. Auf diese Weise erhält 

 man für F (u, q) die Darstellung 



F{U, q) = -^ . f ^^''^'1 Clv + ^. r ^^^ dv ^ Piu, q) + Q iu, q), 



25ti j q — v 2 3ti j V — q 



h<q< h, 



wo die Ungleichheiten in der oben angegebenen Bedeutung zu nehmen sind. 

 Im ersteren Integi-ale P {^i, q) ist also bei der Integration q — v>o, in letzte- 

 ren Q (u, q) aber v — q>o. 



Substituirt man diesen Ausdruck an Stelle von F (u, q) in den Integral- 

 ausdruck von F{i),q), so folgt 



(10) F{p,q)^-^ Ç ^^^^ du -h ^. r ^^^ du, 



2sti J u—p 2sti J u p 



wo die Integrale über die Begi'enzung des oben erwähnten Rechtecks [% + i oj, 

 üo + i ra] erstreckt sind. 



Nunmehr lassen wir auch oj ohne Ende wachsen, wobei sich die der reel- 

 len Axe parallelen Seiten des letztgenannten Rechteckts ins Unendliche entfer- 

 nen. Aus den Integralausdrücken der Functionen P {u, q) und Q (», q) ergiebt 



