Zxvei allgemeine Klassen bestimmter Integrale. lö 



§4. 



Soll die im vorigen § benutzte Vertauscliung der Eeilienfulge der Inte- 

 grationen zulässig sein, so müssen vor allem die für die P sich ergebenden 

 neuen Integralausdrücke und somit auch der für F(p, q) erhaltene Ausdruck 



00 00 



(13) J J0ix,y)x''-'y'-' (Ivdy 



n 



füi' ai<p<a2, hi<q<h2 einen bestimmten Sinn besitzen. Aus dem Nach- 

 folgenden wird sich ergeben, dass so in der That der Fall ist. Ubringens wol- 

 len wir die Herleitung der Formel (12) hier auch in umgekehrter Reihenfolge 

 vornehmen. 



In dem Vorangehenden bezeichnete {x, y) eine durch das zweifache In- 

 tegral (7) definirte Function. Es ergab sich, dass (P in dem durch die Bedin- 

 gungen (5) charakterisirten Bereiche eine regulär sich verhaltende monegene 

 Function von x und y ist, welche daselbst die Ungleichheit 



(14) \0{x,y)\<C\x-''\y\-^ 



befi'iedigt, wo a und h beliebige die resp. Bedingungen «i !^ «t ^ ^2 und l\ < 

 h <, 1)2 erfüllende Zahlen sind, während C eine nicht nur von x und y sondern 

 auch von a und b unabhängige Constante bedeutet. 



Für die weiteren Untersuchungen (§ 5) ist der Nachweis von Wichtig- 

 keit, dass das Integral (13), wenn eine irgend wie definirte Function mit 

 diesen beiden Eigenschaften bedeutet, nidit nur einen bestimmten Sinn hat, wo- 

 fern /; und q die Bedingungen «i < ^ < üo, lh<q< h erfüllen, sondern auch 

 eine monogene Function dieser Grössen darstellt. Von der Gültigkeit dieses 

 Satzes wollen wir uns zunächst überzeugen. 



Ertheilt man der Grösse b in der Ungleichheit (14) den Wertli by oder 

 den Werth b.,, je nachdem y auf das von o bis i oder auf das von i bis 

 Go reichende Intervall beschränkt ist, so ergiebt sich mit Benutzung der ge- 

 nannten Ungleichheit, in dem man q — q+i q setzt : 



1 00 



l' — ';. - 1 



r^ {x, y)y ''"^ dy < Cx-" Çy "''''• ~ '' dy + Ca;"« Cy 



dy 



C f^^ -f -"-] X 

 VI - bi Ih <1 



— rt 



