Zwei allgemeine Klassen bestimmter Integrale. 19 



§5- 



Den Ausgangspunkt der bisheringen Untersuchungen bildete eine Function 

 F{i(, v) der am Anfange des § 2 angegebenen Bescliaffenheit. Wird eine 

 solche Function den in der Formel (7) bezeichneten Integrationen unterworfen, 

 so entsteht eine Function (p (.r, //), welche die am Schlüsse des § 2 erwähnten 

 Eigenschaften besitzt. Unterwirft man diese Function den in der Formel (18) 

 bezeichneten Integrationen, so wird die Function F wiedererzeugt, womit zu- 

 gleich dargethan ist, dass jede Function F [u, v) der fraglichen Beschaffenheit 

 aus einer solchen Function ffi (a; y) durch die letztgenanten Operationen als 

 entstanden gedacht werden kann. In diesem § wollen Avir zeigen, dass auch 

 umgekehrt jede solche Function (p (x, y) aus einer Function F (n, v) auf die 

 durch die Formel (7) angegebene "Weise erhalten werden kann. 



Zu dem Zivecl'e uiihlen wir jetzt zum Ausgangspunkte der Untersuchungen 

 eine beliebige, in dem durch die Bedingungen 



charakterisirten Bereiche überall ') regulär sich verhaltende Function {x, y) 

 von x — \x\ e'*' und y = \y\ e'®% ivelche für solche Werthe x, y die Ungleichheit 



(20) \0{x,y)\<Cx\-''\y\-^ 



befriedigt, wo a und b beliebige, die resp. Bedingungen a^ ^ a ^ a2 und by < 

 h <^ b.2 erfüllende Zahlen sind, während C eine nicht nur von x und y sondern 

 auch von a und b unabhängige Constante bedeutet. 



Unter diesen Voraussetzungen wurde am Anfange des vorigen § gezeigt, 

 dass das Integral 



CO CO 



(21) F {u, V) ^ j ji' (■'■- >j) -^ " '' y ""' ^^ ^iy 



o o 



von der Reihenfolge dei' Integrationen unabhängig ist und eine regulär sich 

 verhaltende monogene Function von u - u + i u" und v = v' + i x" darstellt, 

 wofern diese Variabein auf die resp. Parallelstreifen ftj < u < a^ und b^ < v < b-, 

 beschi'änkt werden. Werden w und v auf die resp. schmäleren Streifen 



') Hierbei werden diejenigen (auf der Begrenzung des Bereiches liegenden) Stellen .r, y nicht 

 mitgerechnet, welche eindeutig bestimmte Argumente »i, e.^ nicht besitzen, d. h. die Stellen .r, »/, bei 

 denen x oder y oder beide = oder oo sind. An solchen Stellen braucht $ sich nicht regulär zu verhalten. 



