22 H.J. MELLIN. 



Die in dem letzteren der obigen Ausdrücke von <P (|, r; ; a, b) vorkom- 

 menden Integrale der Form 



(f (x; «) = ^ — — 

 2stt J_ sin ^ 



ct + 'tco 



H 



du 



„ .^ sm " Î« 



können durch bekannte Functionen bestimmt werden. Dieses Integral, als Func- 

 tion von x = \x\t betrachtet, hat einen bestimmten Sinn, wenn e die Bedin- 

 gung — ,^ < e < + ^ erfüllt. Mit Benutzung des CAucHTSchen Satzes ergiebt 

 sich, dass das Integral ff {x, /3), falls (3 > « ist, gleich ist dem Integrale 

 (p {x; k), vermeint um die Summe derjenigen Residuen des Integranden, welche 

 zu den zwischen den geraden Linien û = a und %( — (3 gelegenen Unendlich- 

 keitsstellen desselben geholfen. Die sämmtlichen Unendlichkeitsstellen des In- 

 tegranden sind der Form [i m, wo ii alle ganzzahligen Werthe annehmen kann. 

 Wir setzen nun u = p in + r mit der Bedingung, dass 2^ eine (positive oder 

 negative) ganze Zahl und o<r <m sein soll, und nehmen ß = (^ -f Â) m + r 

 an, wo k eine positive ganze Zahl sei. Die zwischen den Linien »' = a und 

 u — /3 gelegenenen Unendlichkeitsstellen sind alsdann 



und die zu diesen Stellen gehörigen Residuen resp. gleich 



hm [n — (2) + I') m] = (^ —^ » v = 1,2, ■.■,/{:. 



« = (j)4 ^)»i sin 2t ji ^ 



m 



Nach dem oben Gesagten ist also 



k 



(f (x; a) = (f {x;2} m -\- r) - (- if^^^x'"" 2j (.~ •'■'") + f (-''i (P + ^) '" + »")• 



^=1 



Nimmt man x dem absoluten Betrage nach < i an, so findet man leicht, dass 

 (p (x; (p + Â:) ni + r) bei wachsendem k gegen die Null convergirt, wodurch 

 sich ergiebt 



■^ö* 



(ij4-1)»i 



(f {a: : p m -\- r) - {— \) , o<r<m. 



^ l + ic'" 



Bringt man nun die in (26) vorkommenden Zahlen a und h auf die resp. 

 Formen a—pm + r und b = q n + r, wo p, q ganze Zahlen bedeuten und r, r 



